Är mitt bevis för den inversa funktionssatsen korrekt?

Hej!

Jag håller på att bevisa en del satser för min kurs i envariabelanalys, och nu håller jag på med inversa funktionssatsen. Detta är det jag har formulerat hittills:

Det jag har försökt göra är att visa att gränsvärdet för derivatan av inversfunktionen i punkten $y=y_0$ (där $f^{-1}(y_0) = x_0$ ) existerar genom att skriva om gränsvärdet som ett gränsvärde vi känner till och vet existerar enligt antagande.

I steg (2) skriver jag om $y$ (godtyckligt tal i definitionsmängden till inversfunktionen) och $y_0$ i termer av funktionen $f$ , eftersom jag vet att $y=f(x)$ och $y_0 = f(x_0)$ . Inversfunktionerna förenklas då i täljaren och sedan drar jag slutsatsen att $f(x) \to f(x_0)$ måste vara samma sak som att $x \to x_0$ . Sedan nämner jag i slutändan att beviset skulle kunna göras på ett intervall också istället för en enstaka punkt, men det kanske jag ska ta bort.

Jag undrar om jag har gjort rätt eller om jag har missat någon detalj.

Jag tror det. Att $f (x) - f (x_{0}) \to 0$ då $x \to x_{0}$ följer av att $f$ är kontinuerlig i $x_{0}$ eftersom $f$ är differentierbar där.

Jag har nog bara sett satsen under antagandet att $f$ är kontinuerlig och differentierbar i åtminstone något område kring en punkt.

Jag förstår inte riktigt vad $\textstyle\lim_{f(x)\to f(x_0)}$ är för någon operation. Hur definierar du det formellt?

Jag tänker inte att det är något annorlunda jämfört med att bara ha en variabel under limestecknet. Rent formellt tänker jag helt enkelt att:

$\displaystyle\lim_{f(x) \to f\left(x_0\right)} g\left(f\left(x\right)\right)=L$

$\displaystyle \iff \left(\forall\epsilon>0\right)\left(\exists\delta>0\right)(\forall f(x)\in D_g\setminus \{ f(x_0) \})\left[\left|f(x)-f(x_0)\right|<\delta \implies\left|g(f(x))-L\right|<\epsilon\right]$

Eller y -> y0

Jag tycker "för alla f(x) i Dg\{f(x0)}" är oklart. Vad betyder det?

Om funktionen $g$ är en funktion som mappar från $Y \to X$ och funktionen $f$ är en funktion som mappar från $X \to Y$ så tänker jag att man kan uttrycka alla element ur $Y$ med hjälp av funktionen $f$ . Så i mitt huvud är:

$\displaystyle \forall f(x)\in\ D_g\setminus\{ f(x_0) \}$

Samma sak som att säga:

$\displaystyle \forall y\in\ D_g\setminus\{ y_0 \}$

Utgående ifrån $y=f(x)$ och $f(x_0) = y_0$ .

Vi behöver också visa att $y_0$ är en inre punkt i $D_{f^{-1}}=V_f$ .

Du menar för att gränsvärdet ska kunna existera?

Precis.

Men om $f$ är kontinuerlig (vilket följer av att den är deriverbar) i en punkt $x=x_0$ (underförstått inre punkt) så borde väl den egenskapen ärvas av inversfunktionen? Fast i en omgivning $(y_0 - \varepsilon, y_0+\varepsilon)$ , för något $\varepsilon$ . Eller det kanske man inte kan anta. Finns det något exempel där det inte är så?

En kontinuerlig bijektion har inte nödvändigtvis en kontinuerlig invers. Däremot är alla punkter inre punkter i öppna mängder.

Ett bra exempel är om du tar funktionen f:[0, 2pi) --> S, där S är enhetscirkeln, och f(t) = (cos t, sin t). Det är en kontinuerlig bijektion, men om vi tittar på inversen så kommer vi få ett hopp från 2pi till 0 när vi rör oss runt punkten (1, 0).

Oklart. Även om vår kursbok antar det så kunde inte vi det.

Tillägg: 2 okt 2024 17:50

Gustors svar hade inte kommit upp, tack!

Svara

Visa senaste svar