27 svar
92 visningar
naytte Online 3499
Postad: 6 jan 21:35 Redigerad: 6 jan 21:35

Är mitt resonemang vattentätt?

Frågan jag sitter med lyder:

Alla primtal p>2p>2 kan skrivas antingen på formen p=4n+1p=4n+1 eller p=4n+3p=4n+3. Visa att det finns oändligt många primtal på formen p=4n+3p=4n+3.

Jag har aldrig sett en liknande fråga innan så jag undrar om mitt tankesätt är okej:

Det finns ett oändligt antal primtal och alla primtal som finns existerar i mängden som ges av k=2q+1,q1\displaystyle k=2q+1, q\in \mathbb{Z}_{1}^{\infty}. Alla dessa tal är udda, likaså alla tal i mängden p=4n+3p=4n+3. Om man nu löser nedanstående ekvation:

2q+1=4n+3\displaystyle 2q+1=4n+3 ser vi att n(q)=12(q-1),q1\displaystyle n(q)=\frac{1}{2}(q-1), q\ge 1

Detta samband säger oss att för varje qq som ger ett särskilt element i kk kommer det finnas ett nn som ger samma element i pp. Således kan vi påstå att varje element som finns i kk också finns i pp, eller annorlunda uttryckt: pk\displaystyle p\subset k. Då alla element som finns i mängden kk också finns i pp måste pp innehålla alla primtal som finns, dvs. oändligt många.

Tomten 1600
Postad: 6 jan 22:25

Troligen rätt men:

p står för primtal i uppgiftstexten. Alltså är p ett tal. k definierar du också som tal. Sedan använder du p och k också som mängder och talar om ”element i p” och ”element i k”, men p och k kan inte samtidigt vara både mängd och tal. När du introducerar mängder bör du  presentera vilka element som ingår och ge nya beteckningar. Det är brukligt att använda stora bokstäver för mängder och små för elementen. Beteckningen n(q) måste också presenteras, t ex genom att skriva ”Låt n(q) vara ….”

naytte Online 3499
Postad: 6 jan 22:46 Redigerad: 7 jan 00:46

Okej, tack för poängteringarna! Jag ska försöka formulera om svaret så att det inte bryter mot någon konvention eller är otydligt:

Det finns oändligt många primtal och alla primtal som existerar är element i mängden K={ kq:kq=2q+1,q1}\displaystyle K=\{\;k_{q}:k_{q}=2q+1, q\in \mathbb{Z}_{1}^{\infty}\}. Den andra mängden vi ska undersöka är P={pn:pn=4n+3,n0}\displaystyle P=\{{p_{n}:p_{n}=4n+3,n\in \mathbb{R}_{0}^{\infty}}\}.

Frågan är nu om man kan bestämma ett samband mellan qq och nn. Låt funktionen n(q)=12(q-1)\displaystyle n(q)=\frac{1}{2}(q-1) beteckna nn som en funktion av qq, där man vid varje qq i funktionens domän, som ger ett särskilt element ur KK, erhåller ett nn som ger samma element ur PP

Vi ser då att det för varje qq som ger ett särskilt element i KK också finns ett nn som ger samma element i PP. Vi kan dra slutsatsen att alla element som finns i KK också finns i PP. Således är PK\displaystyle P\subset K. Det innebär att alla primtal som finns existerar i PP också.


Nu blev det kanske för rörigt istället? Hojta gärna till i sådana fall!

Tomten 1600
Postad: 7 jan 11:18

Ditt K är mängden av alla udda tal och med din avbildning n(q)visar du att P är en delmängd av K. Det räcker nog inte för det är Psom du ska visa är oändlig. Du behöver också att för varje kq i K finns ett UNIKT pn i P. Först då avbildas varje primtal i K på ett unikt primtal i P. Tror inte du behöver ändra särskilt mycket. Försök visa att avbildningen n(q) är bijektiv.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 11:43 Redigerad: 7 jan 11:44

Vad exakt innebär bijektivitet? Är det att varje element i målmängden pekas på av ett unikt element i domänen?

Tomten 1600
Postad: 7 jan 14:25

Ja, så kan man uttrycka det.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 15:48

Okej, lite osäker på hur man ska visa att det är så. Funktionen är ju strängt växande så att man vid varje q i domänen erhåller ett unikt n är väl ganska självklart?

Kan man visa bijektiviteten genom att visa att det existerar en inversfunktion n-1(q)n^{-1}(q)?

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 15:55

Jag tycker du verkar göra så att för ett primtal i K, t.ex. 23, som är 2*11+1, så bestämmer du det n som talet har i mängden P, vilket är (11-1)/2 enligt din formel, vilket är 5.

Det går ju bra, men när du gör det för t.ex. 17 = 2*8+1 så får du n = (8-1)/2 = 3,5, så de kan inte avbildas dit.

(Primtalet 2 får inte vara med här heller, men det gör nog inte så mycket.)

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 15:57

Det var en tanke som slog mig också men eftersom pn = 4n+3 kommer man ju ändå få ett heltal här.

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 15:58

Ja, talen 4n+3 är oändligt många, men att primtalen bland dem är oändligt många har du inte bevisat.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:03 Redigerad: 7 jan 16:05

Utgångspremissen i det jag försökte visa var att min mängd KK innehåller alla primtal större än 2 som finns. Så är det väl, eller hur? Och de är oändligt många.

Och sedan (trodde jag åtminstone) visade jag att det för varje qq som ger ett tal i mängden KK finns ett nn som ger samma tal i mängden PP. Så för varje qq som ger ett primtal i KK (oändligt många) existerar det ett nn som ger samma primtal i mängden PP => det finns oändligt många primtal i mängden PP (eftersom det finns oändligt många i KK).

Vad i den logiken är det som är fel? Troligen missar jag ju något.

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 16:09

Det skulle kunna vara så att det finns ändligt många primtal 4n+3. K är oändlig, och alla 4n+3-tal finns i P, men varför visar det att det finns oändligt många primtal 4n+3?

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:11

Jag tror jag är lite lost, så jag tar det från början för att minska risken att jag gör ett logiskt fel när jag tänker:

Håller du med om att jag har visat att det för varje q som ger ett element i K existerar ett n som ger samma element i P?

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 16:12

Ja.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:12

Och du håller dessutom med att det finns oändligt många primtal i mängden K?

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 16:14

Ja. 4n+1-talen som är primtal och 4n+3-talen som är primtal är oändligt många tillsammans.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:17

Det håller jag med om.

Men vi har några utgångspunkter i bevisföringen:

  • Antalet primtal i K är oändligt stort
  • För alla q som ger ett särskilt element i K finns det ett n som ger samma element i P 

Så om K innehåller alla primtal som finns, och det alltid kommer finnas ett n som ger samma primtal i P, då måste P innehålla alla primtal som K innehåller.

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 16:19

Nej, P innehåller inte 4n+1-talen.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:22 Redigerad: 7 jan 16:22

Det beror kanske på vad kravet på n är. Jag har antagit att n kan vara vilket reellt tal som helst men de menar i uppgiften kanske att n ska vara ett heltal? För då håller jag med dig.

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 16:23

Jaha, jag trodde det var ett misstag att ha R där.

Ja, då innehåller P samma tal som K.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:26

Ja okej, och det var därför du påpekade fallet när n=7/2, fattar. Ska försöka visa det med kravet att n är ett heltal. Tycker de borde nämna sådant i uppgiften...

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 16:30

Spelar det någon roll för det som ska bevisas? Hittills har du, tycker jag, bara numrerat om elementen i K.

Anta att vi tar en annan mängd som liknar primtalen: den heter Q och innehåller dels alla tal på formen 4n+1 som går att dela med 117, dels alla tal på formen 4n+3 som är mindre än 1000. (n är ett naturligt tal.)

Ditt bevis ska inte kunna bevisa att 4n+3-talen i Q är oändligt många.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:33

Spelar det någon roll för det som ska bevisas? Hittills har du, tycker jag, bara numrerat om elementen i K.

Ja men jag har ju samtidigt visat att alla element i K också finns i P. Så om K innehåller alla primtal gör P också det. Och de är oändligt många. Men med kravet att n är ett heltal blir det betydligt krångligare.

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 16:38

Ja, P innehåller alla primtal, men hur vet du att 4n+3-primtalen är oändligt många?

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:41 Redigerad: 7 jan 16:43

För att P endast innehåller primtal på formen 4n+3 (om n kan vara vilket reellt tal som helst). Grejen är ju att om alla reella n större lika med 0 är tillåtna kan vilket primtal som helst större än 2 skrivas på formen 4n+3.

Laguna Online 27808
Postad: 7 jan 16:43

Jaha, nu kanske jag fattar. Det står inte i uppgiften att n ska vara ett heltal, men för mig är det helt uppenbart att de menar det. Annars har man inte sagt någonting alls.

4n+1-primtalen är 5, 13, 17, 29 etc.

4n+3-primtalen är 3, 7, 11, 19, 23 etc.

naytte Online 3499
Postad: 7 jan 16:44

Precis, det var det som orsakade problem. Vi talade om två olika uppgifter. 

Jag ska försöka mig på den igen med kravet att n är ett heltal! Återkommer senare.

När det handlar om primtal så är det underförstått att det handlar om heltal, eftersom alla primtal är positiva heltal.

Svara Avbryt
Close