Är mitt resonemang vattentätt?

Troligen rätt men:

p står för primtal i uppgiftstexten. Alltså är p ett tal. k definierar du också som tal. Sedan använder du p och k också som mängder och talar om ”element i p” och ”element i k”, men p och k kan inte samtidigt vara både mängd och tal. När du introducerar mängder bör du  presentera vilka element som ingår och ge nya beteckningar. Det är brukligt att använda stora bokstäver för mängder och små för elementen. Beteckningen n(q) måste också presenteras, t ex genom att skriva ”Låt n(q) vara ….”

Okej, tack för poängteringarna! Jag ska försöka formulera om svaret så att det inte bryter mot någon konvention eller är otydligt:

Det finns oändligt många primtal och alla primtal som existerar är element i mängden $\displaystyle K=\{\;k_{q}:k_{q}=2q+1, q\in \mathbb{Z}_{1}^{\infty}\}$. Den andra mängden vi ska undersöka är $\displaystyle P=\{{p_{n}:p_{n}=4n+3,n\in \mathbb{R}_{0}^{\infty}}\}$.

Frågan är nu om man kan bestämma ett samband mellan $q$ och $n$. Låt funktionen $\displaystyle n(q)=\frac{1}{2}(q-1)$ beteckna $n$ som en funktion av $q$, där man vid varje $q$ i funktionens domän, som ger ett särskilt element ur $K$, erhåller ett $n$ som ger samma element ur $P$. 

Vi ser då att det för varje $q$ som ger ett särskilt element i $K$ också finns ett $n$ som ger samma element i $P$. Vi kan dra slutsatsen att alla element som finns i $K$ också finns i $P$. Således är $\displaystyle P\subset K$. Det innebär att alla primtal som finns existerar i $P$ också.

Nu blev det kanske för rörigt istället? Hojta gärna till i sådana fall!

Ditt K är mängden av alla udda tal och med din avbildning n(q)visar du att P är en delmängd av K. Det räcker nog inte för det är Psom du ska visa är oändlig. Du behöver också att för varje k_q i K finns ett UNIKT p_n i P. Först då avbildas varje primtal i K på ett unikt primtal i P. Tror inte du behöver ändra särskilt mycket. Försök visa att avbildningen n(q) är bijektiv.

Vad exakt innebär bijektivitet? Är det att varje element i målmängden pekas på av ett unikt element i domänen?

Ja, så kan man uttrycka det.

Okej, lite osäker på hur man ska visa att det är så. Funktionen är ju strängt växande så att man vid varje q i domänen erhåller ett unikt n är väl ganska självklart?

Kan man visa bijektiviteten genom att visa att det existerar en inversfunktion $n^{-1}(q)$?

Jag tycker du verkar göra så att för ett primtal i K, t.ex. 23, som är 2*11+1, så bestämmer du det n som talet har i mängden P, vilket är (11-1)/2 enligt din formel, vilket är 5.

Det går ju bra, men när du gör det för t.ex. 17 = 2*8+1 så får du n = (8-1)/2 = 3,5, så de kan inte avbildas dit.

(Primtalet 2 får inte vara med här heller, men det gör nog inte så mycket.)

Det var en tanke som slog mig också men eftersom p_n = 4n+3 kommer man ju ändå få ett heltal här.

Ja, talen 4n+3 är oändligt många, men att primtalen bland dem är oändligt många har du inte bevisat.

Utgångspremissen i det jag försökte visa var att min mängd $K$ innehåller alla primtal större än 2 som finns. Så är det väl, eller hur? Och de är oändligt många.

Och sedan (trodde jag åtminstone) visade jag att det för varje $q$ som ger ett tal i mängden $K$ finns ett $n$ som ger samma tal i mängden $P$. Så för varje $q$ som ger ett primtal i $K$ (oändligt många) existerar det ett $n$ som ger samma primtal i mängden $P$ => det finns oändligt många primtal i mängden $P$ (eftersom det finns oändligt många i $K$).

Vad i den logiken är det som är fel? Troligen missar jag ju något.

Det skulle kunna vara så att det finns ändligt många primtal 4n+3. K är oändlig, och alla 4n+3-tal finns i P, men varför visar det att det finns oändligt många primtal 4n+3?

Jag tror jag är lite lost, så jag tar det från början för att minska risken att jag gör ett logiskt fel när jag tänker:

Håller du med om att jag har visat att det för varje q som ger ett element i K existerar ett n som ger samma element i P?

Ja.

Och du håller dessutom med att det finns oändligt många primtal i mängden K?

Ja. 4n+1-talen som är primtal och 4n+3-talen som är primtal är oändligt många tillsammans.

Det håller jag med om.

Men vi har några utgångspunkter i bevisföringen:

• Antalet primtal i K är oändligt stort
• För alla q som ger ett särskilt element i K finns det ett n som ger samma element i P 

Så om K innehåller alla primtal som finns, och det alltid kommer finnas ett n som ger samma primtal i P, då måste P innehålla alla primtal som K innehåller.

Nej, P innehåller inte 4n+1-talen.

Det beror kanske på vad kravet på n är. Jag har antagit att n kan vara vilket reellt tal som helst men de menar i uppgiften kanske att n ska vara ett heltal? För då håller jag med dig.

Jaha, jag trodde det var ett misstag att ha R där.

Ja, då innehåller P samma tal som K.

Ja okej, och det var därför du påpekade fallet när n=7/2, fattar. Ska försöka visa det med kravet att n är ett heltal. Tycker de borde nämna sådant i uppgiften...

Spelar det någon roll för det som ska bevisas? Hittills har du, tycker jag, bara numrerat om elementen i K.

Anta att vi tar en annan mängd som liknar primtalen: den heter Q och innehåller dels alla tal på formen 4n+1 som går att dela med 117, dels alla tal på formen 4n+3 som är mindre än 1000. (n är ett naturligt tal.)

Ditt bevis ska inte kunna bevisa att 4n+3-talen i Q är oändligt många.

Spelar det någon roll för det som ska bevisas? Hittills har du, tycker jag, bara numrerat om elementen i K.

Ja men jag har ju samtidigt visat att alla element i K också finns i P. Så om K innehåller alla primtal gör P också det. Och de är oändligt många. Men med kravet att n är ett heltal blir det betydligt krångligare.

Ja, P innehåller alla primtal, men hur vet du att 4n+3-primtalen är oändligt många?

För att P endast innehåller primtal på formen 4n+3 (om n kan vara vilket reellt tal som helst). Grejen är ju att om alla reella n större lika med 0 är tillåtna kan vilket primtal som helst större än 2 skrivas på formen 4n+3.

Jaha, nu kanske jag fattar. Det står inte i uppgiften att n ska vara ett heltal, men för mig är det helt uppenbart att de menar det. Annars har man inte sagt någonting alls.

4n+1-primtalen är 5, 13, 17, 29 etc.

4n+3-primtalen är 3, 7, 11, 19, 23 etc.

Precis, det var det som orsakade problem. Vi talade om två olika uppgifter. 

Jag ska försöka mig på den igen med kravet att n är ett heltal! Återkommer senare.

När det handlar om primtal så är det underförstått att det handlar om heltal, eftersom alla primtal är positiva heltal.