12 svar
107 visningar
naytte är nöjd med hjälpen
naytte Online 3735 – Tillträdande Moderator
Postad: 12 mar 20:51 Redigerad: 12 mar 21:01

Är mitt vektorrum ett banachrum?

God kväll!

Jag har jobbat en del med att utveckla ett "eget" system som tillåter infinitesimaler. Varje linjärkombination av heltalspotenser i infinitesimalen ε\varepsilon i min mängd (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) har en vektorrrepresentation i n\mathbb{R}^n som motsvarar en k-tupel.

Några exempel:

(2,3,0,4)=2ε0+3ε1+0ε2+4ε3\displaystyle (2,3,0,4)=2\varepsilon^0+3\varepsilon^1+0\varepsilon^2+4\varepsilon^3

(2)=2ε0=2\displaystyle (2)=2\varepsilon^0=2

Jag har dessutom definierat en norm i mitt vektorrum: 

·:(ε),xx12+x22+...+xk2\displaystyle \left\| \cdot \right\|:\mathbb{R}(\varepsilon)\to \mathbb{R},x\mapsto \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_k^2}

Nu är det så att jag undrar om detta rum är ett Banachrum eller inte. Det är ju i varje fall definitivt ett normerat vektorrum (X,·)(X,\left\| \cdot \right\|) . Men det står på Wikipedia att det dessutom måste vara fullständigt, alltså att normen är sådan att varje Cauchyföljd med avseende på metriken d(x,y)=x-y\displaystyle d(x,y)=\left\| x-y \right\| i XX har ett gränsvärde i XX.

Det är just det sista kravet jag inte vet hur man kan visa, eller ens vad det innebär egentligen. Hur skulle gränsvärdet kunna ligga utanför vektorrummet, liksom? Om ni har några bra exemepl skulle det uppskattas!

oggih Online 1163 – F.d. Moderator
Postad: 12 mar 21:30 Redigerad: 12 mar 21:46

Låt oss börja med att formulera de relevanta definitionerna, så att vi inte riskerar att tala förbi varandra.

  • Ett normerat vektorrum (X,·)(X,{\Vert{\cdot}\Vert}) är fullständigt om det för varje Cauchyföljd (xn)n=1(\mathbf{x}_n)_{n=1}^\infty i XX gäller att det finns ett yX\mathbf{y}\in X sådant att limnxn=y\lim_{n\to\infty}\mathbf{x}_n=\mathbf{y}.
  • Att (xk)k=1(\mathbf{x}_k)_{k=1}^\infty är en Cauchy-följd betyder att för varje ϵ>0\epsilon>0 så existerar det NZ>0N\in\mathbb{Z}_{>0} sådant att m,nNm,n\geq N medför xm-xn\Vert\mathbf{x}_m-\mathbf{x}_n\Vert.
  • Att limnxn=y\lim_{n\to\infty}\mathbf{x}_n=\mathbf{y} betyder ratt det för varje ϵ>0\epsilon>0 existerar ett NZ>0N\in\mathbb{Z}_{>0} sådant att nNn\geq N medför xn-y\Vert\mathbf{x}_n-y\Vert.

Det vi ska visa är alltså att för varje Cauchy-följd i ditt nomerade vektorrrum så ska det finnas att gränsvärde – och precis som du säger ska gränsvärdet självklart ligga i själva vektorrummet. (Anledningen till att man ibland förtydligar just detta i definitionen är att det ibland kan vara frestande att tänka sig vektorrummet som en delmängd av något större vektorrum, och hitta ett gränsvärde i det större vektorrumet, vilket man alltså inte får lov att göra enligt den här definitionen.)

naytte Online 3735 – Tillträdande Moderator
Postad: 12 mar 21:33 Redigerad: 12 mar 21:41

Så med Cauchyföljd menar vi helt enkelt att vi kan bestämma ett "avstånd" ϵ\epsilon, och säga att för varje avstånd vi kan bestämma kommer det finnas ett NN sådant att avståndet am-an<ϵa_m-a_n<\epsilon för några m,nNm,n\ge N?

...så vi kan alltid hitta mindre och mindre avstånd. Vilket gör att följden alltid konvergerar mot något värde, antar jag?

EDIT:

Jag tror jag förstår kravet nu. Om man drar en prallell till rationella tal och irrationella tal kan vi enkelt hitta vissa Cauchyföljder som konvergerar, men i själva verket konvergerar mot irrationella tal (alltså tal som inte finns i \mathbb{Q}!) Det är ju t.o.m ett sätt att definiera irrationella tal på...!

Så kravet säger i princip att alla Cauchyföljder i vektorrummet XX måste konvergera mot något som ligger i XX för att rummet ska vara fullständigt.

oggih Online 1163 – F.d. Moderator
Postad: 12 mar 21:42 Redigerad: 13 mar 00:18

Övningsuppgift (vi hjälper dig så klart om du kör fast!):

Betrakta följande följd (xn)n=1(\mathbf{x}_n)_{n=1}^\infty i ditt vektorrum:

  • x1=12ε\mathbf{x}_1=\frac{1}{2}\varepsilon
  • x2=12ε+14ε2\mathbf{x}_2=\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{4}\varepsilon^2
  • x3=12ε+14ε2+18ε3\mathbf{x}_3=\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{4}\varepsilon^2+\frac{1}{8}\varepsilon^3
  • x4=12ε+14ε2+18ε3+116ε4\mathbf{x}_4=\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{4}\varepsilon^2+\frac{1}{8}\varepsilon^3+\frac{1}{16}\varepsilon^4
  • ...
  • xn=k=1n12kεk\mathbf{x}_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}\varepsilon^k
  • ...

Är det en Cauchy-följd? Har den ett gränsvärde?

oggih Online 1163 – F.d. Moderator
Postad: 12 mar 21:45 Redigerad: 12 mar 21:48
naytte skrev:

Så med Cauchyföljd menar vi helt enkelt att vi kan bestämma ett "avstånd" ϵ\epsilon, och säga att för varje avstånd vi kan bestämma kommer det finnas ett NN sådant att avståndet am-an<ϵa_m-a_n<\epsilon för några m,nNm,n\ge N?

För alla m,nNm,n\geq N! (Och glöm inte att skilja på differensen am-ana_m-a_n som är en vektor i vektorrummet, och avståndet am-an\Vert a_m-a_n\Vert som är ett ickenegativt reellt tal.)

Vilket gör att följden alltid konvergerar mot något värde, antar jag?

Det är kruxet! Man kan tycka att det alltid borde vara så, men det finns motexempel. Vi har infört namnet "fullständiga" för de rummen som har den här väldigt rimliga egenskapen att Cauchyföljder alltid konvergerar mot något, och så kallar vi de patologiska motexemplen för "ofullständiga".

Jag tror jag förstår kravet nu. Om man drar en prallell till rationella tal och irrationella tal kan vi enkelt hitta vissa Cauchyföljder som konvergerar, men i själva verket konvergerar mot irrationella tal (alltså tal som inte finns i \mathbb{Q}!) Det är ju t.o.m ett sätt att definiera irrationella tal på...!

Exakt! Bra exempel!

Så kravet säger i princip att alla Cauchyföljder i vektorrummet XX måste konvergera mot något som ligger i XX för att rummet ska vara fullständigt.

Japp!

naytte Online 3735 – Tillträdande Moderator
Postad: 12 mar 22:41 Redigerad: 12 mar 22:42

Okej, då verkar det som om mitt vektorrum är ett Banachrum, eller? Eftersom mina Cauchyföljder bara kan konvergera mot vektorer som redan finns i mitt vektorrum. Alltså om man har en Cauchyföljd av bara reella tal kan den väl inte konvergera mot något annat än något reellt?

oggih Online 1163 – F.d. Moderator
Postad: 12 mar 22:51 Redigerad: 12 mar 22:52

Det kan finnas Cauchy-följder som inte konvergerar alls! (Hint: Se exemplet i #4.)

naytte Online 3735 – Tillträdande Moderator
Postad: 12 mar 22:55 Redigerad: 12 mar 23:15

Måste mm och nn vara skilda från varandra?

oggih Online 1163 – F.d. Moderator
Postad: 12 mar 23:27 Redigerad: 12 mar 23:28

De kan vara lika med varandra! (Men i så fall får vi xm-xn=0=0\Vert \mathbf{x}_m- \mathbf{x}_n\Vert=\Vert\mathbf{0}\Vert=0, vilket ju alltid kommer att vara mindre än ϵ\epsilon. Så fallet m=nm=n tillför så att säga inget till definitionen.)

naytte Online 3735 – Tillträdande Moderator
Postad: 12 mar 23:29 Redigerad: 12 mar 23:30

Jag tror jag skulle behöva ett litet tips för att komma igång. Jag vet inte ens hur jag ska börja. Jag inser att man måste hitta ett ϵ\epsilon och sedan helt enkelt välja ett NN och visa att det inte kan vara en cauchyföljd med ett motexempel. Men jag tror ändå lite vägledning hade varit bra. 

oggih Online 1163 – F.d. Moderator
Postad: 12 mar 23:44 Redigerad: 13 mar 00:29

Rätt svar är alltså att följden är en Cauchy-följd, men att den saknar gränsvärde.  Låt oss börja med att visa att det är en Cauchy-följd.

Det du vill göra är att övertyga mig om att hur litet ϵ>0\epsilon>0 som jag än kommer dragandes med, så kan du hitta ett tillräckligt stort NN så att egenskapen i definitionen av en Cauchy-följd uppfylls. 

Vi kan starta med ett konkret exempel: Kan du ge mig ett tillräckligt stort NN om jag utmanar dig med ϵ=110\epsilon=\frac{1}{10}?

Hint: Prova dig fram! Vad är det största värdet xm-xm\Vert \mathbf{x}_m-\mathbf{x}_m\Vert kan ha för m,n1m,n\geq 1? För m,n2m,n\geq 2? För m,n3m,n\geq 3? Och så vidare...

Edit: Jag uppdaterade exemplet för att göra det lite enklare.

naytte Online 3735 – Tillträdande Moderator
Postad: 13 mar 13:29 Redigerad: 13 mar 13:40

Jag tror faktiskt jag har en generell ansats.

Vi ser att om vi skulle välja två termer som angränsar varandra så skulle alla termer försvinna förutom de vi valde. Så om vi skulle välja exempelvis n=4n=4 och m=3m=3 och beräkna x4-x3=ε424-ε323\displaystyle \textbf{x}_4-\textbf{x}_3=\frac{\varepsilon^4}{2^{4}}-\frac{\varepsilon^3}{2^3}.

Så vi skulle kunna börja med att välja, för något NN, n=Nn=N samt m=N+1m=N+1. Då skulle vi hamna i följande situation:

xN-xN+1<ϵ\displaystyle \left\| \textbf{x}_N-\textbf{x}_{N+1} \right\|<\epsilon

Vi kan använda triangelolikheten för att säga:

xN-xN+1xN+-xN+1<ϵ\displaystyle \left\| \textbf{x}_N-\textbf{x}_{N+1} \right\|\le\left\| \textbf{x}_N \right\|+\left\| -\textbf{x}_{N+1} \right\|<\epsilon

Om vi skulle kunna bestämma NN så att varje del är strikt mindre än ϵ2\displaystyle \frac{\epsilon}{2} skulle summan också vara strikt mindre. Vi ser enligt vår norm att exempelvis:

εN2N=12N\displaystyle \left\| \frac{\varepsilon^N}{2^N} \right\|=\left| \frac{1}{2^N} \right|

Så vi vill med andra ord att:

12N<ϵ2\displaystyle \left| \frac{1}{2^N} \right|<\frac{\epsilon}{2},

för av det kommer det följa att:

12N+1<ϵ2\displaystyle \left| \frac{1}{2^{N+1}} \right|<\frac{\epsilon}{2}

Då ser vi att ϵ>21-N\displaystyle \epsilon>2^{1-N}

Och för varje epsilon finns det definitivt ett sådant NN (vi väljer något jättestort helt enkelt), ju mindre ϵ\epsilon är, desto större NN väljer vi.

Men nu har jag bara visat det för specifikt n=Nn=N och m=N+1m=N+1. Men man hade nog lika gärna kunna valt m=N+pm=N+p, för något positivt pp. Resonemanget hade nog blivit ganska likt.


Tror du att detta skulle kunna vara något eller är jag helt ute och cyklar?

oggih Online 1163 – F.d. Moderator
Postad: 13 mar 22:17 Redigerad: 13 mar 23:31

Många bra idéer där, men några kommentarer:

  • För att undvika förvirring med att ε\varepsilon är väldigt likt ϵ\epsilon, så kan vi kanske bestämma oss för att skriva elementen i ditt vektorrum som tuplar, så att vi slipper prata om ε\varepsilon.
  • Kolla igen vad skillnaden x4-x3\mathbf{x}_4-\mathbf{x}_3 faktiskt blir!
  • Du har helt rätt i att det finns oändligt många möjligheter för vad m,nNm,n\geq N kan vara, och på något vis vill vi täcka alla dessa.
  • Strategin man brukar använda i matematisk analys i den här typen av situationer, är att försöka hitta en bra övre gräns för hur stort xn-xm\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert kan bli för ett givet NN och godtyckliga n,mNn,m\geq N. Du tänka att du ska försöka komma på ett (worse-than-)worst-case-scenario för hur stort xn-xm\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert kan bli, som enbart ska vara en funktion av NN.
  • För att undvika att mecka med kvadratrötter så kan det vara smart att jobba med xn-xm2\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert^2 i stället för xn-xm\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert.
  • När du har kommit på ditt värsta-scenario, så kan vi försöka välja NN tillräckligt stort så att xn-xm<ϵ\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert<\epsilon (eller ekvivalent: xn-xm2<ϵ2\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert^2<\epsilon^2) gäller i det där värsta-scenariot. Då kommer olikheten automatiskt att gälla för samtliga m,nNm,n\geq N.

Bara säg till om du behöver fler ledtrådar!

Svara Avbryt
Close