Är någon utvidgning mer "rätt" än en annan?

Är det specifikt utvidgningen av N till Z som du är intresserad av ,eller är det alla möjliga utvidgningar med hjälp av naturliga talpar? Om det är från N till Z, ska man väl inte glömma det vällovliga syftet att konstruera additiva inverser till elementen i N. När utvidgningen sedan väl är gjord, och vi fått rimliga beteckningar 0, 1, -1, 2, -2 etc.(oavsett sättet), tänker jag att det är bättre att fokusera på något annat. I farten kan vi dock notera att N ärver sin välordning från ordinaltalen eftersom dessa är isomorfa med elementen i N. Sen kan jag inte se att det händer något mer intressant förrän vi kommer till det första oändliga ordinaltalet, men det är en annan historia.

Om du å andra sidan tänker på alla möjliga utvidgningar av naturliga talpar, så antar jag att du är bekant med  hur vi kan komma till Q och att vi också kan komma till C med heltalsvärda real- och imaginärdelar

Mina två upppunktade frågor berör utvidgingar i allmänhet, även den klassiska utvidgningen från $\mathbb{Z}$ till $\mathbb{Q}$, men jag tog de naturliga talen som exempel. Vi kan väl utgå ifrån just den utvidgningen för enkelhetens skull?

Frågorna är alltså: finns det inte egentligen oändligt många, lika legitima, sätt att göra en särskild utvidgning på (t.ex. från de naturliga talen till heltalen)? Och hur kan vi säga att de naturliga talen är en delmängd till heltalen när de inte innehåller samma slags objekt? Är det notationsmissbruk?

I allmänhet kan man säga att själva konstruktionen ofta är mindre intressant, så länge resultatet blir något som har samma struktur som (är isomorft med) $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ eller vad du nu konstruerar. Så länge du har det objekt du vill ha så spelar det inte någon större roll hur du valt att konstruera det, i alla fall rent formellt. Konstruktionen kan vara intressant av andra skäl förstås. Med det sagt så finns det i allmänhet många olika sätt att göra sådana konstruktioner på. Testa till exempel att söka på "construction of the reals".

Angående din andra fråga, så ja, det är "abuse of notation" att skriva $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ om $\mathbb{Z} =\mathbb{N} \times\mathbb{N}$ som mängder. Det man menar är att mängden $\mathbb{N}$ ses som bilden $\iota(\mathbb{N})\subset\mathbb{Z}$ under en funktion $\iota:\mathbb{N} \to\mathbb{Z}$ som identifierar de naturliga talen med en delmängd av heltalen. Det finns alltid en unik sådan inklusion som är injektiv och bevarar all struktur från $\mathbb{N}$ (addition, multiplikation, etc.) och därför kan vi identifiera de naturliga talen som denna delmängd. Det finns ingen struktur som går förlorad utan det är bara att vi ser de naturliga talen ligga i en annan mängd och kanske skrivas med annan notation men i övrigt bete sig exakt som förväntat. 

Så det är strukturen vi tycker är intressant, inte nödvändigtvis exakt hur man gör sin utvidgning formellt; vi kan alltså "abstrahera" struktur från t.ex. två ringar som formellt är helt olika och inse att dessa beskriver samma objekt "med olika namn", dvs. vi kan inse att de är isomorfa?

Ja, man kanske kan tänka sig en analogi med bevis. Alla bevis är lika giltiga, vissa kan anses snyggare eller elegantare än andra, men rent matematiskt har alla korrekta bevis samma matematiska värde. De visar alla att en slutsats följer från något antagande.

Begreppet isomorfi är en slags ekvivalens eller likhet av en viss typ av struktur. Att påstå att två mängder $A$ och $B$ är isomorfa betyder att det finns en bijektion mellan dem. Två mängder har alltså "samma struktur" om de har samma antal element (i alla fall i det ändliga fallet). Det betyder att det inte finns någon strukturell skillnad mellan $A$ och $B$ som mängder. Om $A=\{1,2,3\}$ och $B=\{\alpha,\beta,\gamma\}$ så är mängderna isomorfa, men de är inte "lika" i bemärkelsen att de innehåller samma element. De är endast lika "som mängder".

Två vektorrum $V$ och $W$ är isomorfa om det finns en linjär bijektion $f$ mellan dem. Dels måste alltså vektorrummens underliggande mängder vara isomorfa (vara i bijektion) och dels måste den övriga strukturen bevaras (skalärmultiplikation och addition).

Två grupper $G$ och $H$ är isomorfa om det finns en gruppisomorfi $\varphi$ mellan dem. Det betyder dels att gruppernas underliggande mängder är i bijektion, och dels att gruppens övriga struktur bevaras.

På liknande sätt definieras isomorfier mellan alla möjliga algebraiska objekt (ringar, kroppar, moduler, metriska rum, etc.).

En isomorfi mellan algebraiska objekt betyder alltså ungefär "lika som algebraiska objekt". Om man tänker sig ett par glasögon som bara ser ringstrukturer, så skulle två isomorfa ringar se exakt likadana ut.

Liten sidenote:

Ringen $\mathbb{Z}$ är unik på flera sätt, och om man tänker sig kategorin $\mathbf{Ring}$ av alla ringar så finns det en speciell karakterisering av $\mathbb{Z}$ som ett "initial object" i $\mathbf{Ring}$. I detta fall betyder det att för varje ring $R$ så finns det exakt en ringhomomorfi från $\mathbb{Z}\to R$.

Detta är en mycket speciellt egenskap och karakteriserar $\mathbb{Z}$ helt. Vad menar jag med det? Jo, det innebär att vi faktiskt kan definiera ringen $\mathbb{Z}$ som det initiala objektet i kategorin $\mathbf{Ring}$. Detta är en slags definition som totalt struntar i hur $\mathbb{Z}$ "ser ut" inuti, utan bara kräver att det ska finnas en unik ringhomomorfi från $\mathbb{Z}$ till varje annan ring $R$. Vi kan vara säkra på att alla objekt vi konstruerar som uppfyller denna egenskap är isomorfa som ringar, och därför är det i någon bemärkelse "ointressant" exakt hur vi gjort konstruktionen, så länge resultatet uppfyller våra kriterier.

Tack för ditt svar!

Så två ringar kan vara isomorfa mängder, men samtidigt inte vara isomorfa ringar? Dvs. de kan ha samma struktur som mänger (samma antal element) men sakna en strukturbevarande bijektion som "respekterar" operationerna på mängderna?

Absolut! Ringarna Z och Q är ett exempel! 

Det är en nyttig övning att hitta en bijektion mellan dem (googla om du kör fast!), och även en nyttig övning att visa att det inte kan existera en isomorfi mellan dem (försök med ett motsägelsebevis!).

En annan nyttig övning är att försöka konstruera två exempel på icke-isomorfa ringar med fyra element.

Vi kan kalla elementen {a,b,c,d}, och din uppgift är att rita upp två additionstabeller multiplikationstabeller som uppfyller alla ringaxiomen.

Här är ett exempel på en additionstabell och multiplikationstabell för en ring med fyra element, nämligen Z/4Z (heltal mod 4):

Förslaget på övning är alltså att hitta en additionstabell och multiplikationstabell på mängden {a,b,c,d} som uppfyller alla ringaxiomen utan att vara isomorft (aka "detsamma upp till tabellbevarande omdöpning av elementen") med ovanstående ring.