10 svar
100 visningar
dajamanté är nöjd med hjälpen!
dajamanté 4348
Postad: 16 maj 2018

arccot(-1)

Jag blir lite osäker... visst det är så att man kan inte ta arccot på -1 för att den är odefinierad för negativa värden?

Jag har uppgiften:

arccot(cot -π4)

och arccot(-1) dyker upp direkt.

Guggle 1087
Postad: 16 maj 2018 Redigerad: 16 maj 2018

Man brukar definiera den vackra och spänstiga funktionen arccot(x)arccot(x) så att  definitionsmängden ]-,[]-\infty, \infty[ och värdemängden ]0,π[]0,\pi[

Edit: Det finns andra definitioner, men denna ger ingen diskontinuitet i 0.

dajamanté 4348
Postad: 17 maj 2018

God morgon och tack för svaret!

Vackra och spänstiga 😊? Enligt min kurslitteratur är hon tråkigt och oanvändbar, och måste ersättas med π2-arctan\frac\pi2-arctan så fort hon dyker upp!

tomast80 1503
Postad: 17 maj 2018 Redigerad: 17 maj 2018

Ja, det sambandet gäller eftersom

cotx=cosxsinx= \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} =

sin(π2-x)cos(π2-x)=

tan(π2-x) \tan {(\frac{\pi}{2}-x)}

dajamanté 4348
Postad: 17 maj 2018

Just det!

Tack King of Math!

Guggle 1087
Postad: 17 maj 2018 Redigerad: 17 maj 2018
dajamanté skrev:

God morgon och tack för svaret!

Vackra och spänstiga 😊? Enligt min kurslitteratur är hon tråkigt och oanvändbar, och måste ersättas med π2-arctan\frac\pi2-arctan så fort hon dyker upp!

 Ja, men det finns lite finlir här. Du har definierat arccot(x)arccot(x) som den inversa funktionen till restriktionen av funktionen cot(x)\cot(x) till intervallet ]0,π[]0,\pi[.

Det kan vara bra att känna till att alla inte tycker att arccot(-1) ska tolkas på samma sätt. Så här ser y=arccot(x) ut enligt Desmos (och din definition, ingen diskontinuitet i 0)

Detta kan jämföras med plot arccot(x), x=-2pi to 2pi i Wolfram.

Notera att Desmos och Wolfram är lite ovänner om vad som händer då x<0.

dajamanté 4348
Postad: 17 maj 2018 Redigerad: 17 maj 2018

Wolfram och Desmos ovänner! Det är en trist dag för matematik! ... men vad säger Geogebra då ?

... hon säger som Wolfram. Och dem verkar överens med Mathematica.

 

Jag känner en hemsk vertigo som sätter sig i mitt kropp. Hur kan man klara det om även datorer är inte överens i analys!!

Guggle 1087
Postad: 17 maj 2018 Redigerad: 17 maj 2018

Jättefina grafer och bra att du börjat jobba med Mathematica. Nu väntar jag bara på att du ska hitta funktioner som ReflectionMatrix[] och RotationMatrix[] :)

Men jag har ett klagomål!

När du jobbar med inversa funktioner måste du tänka på att f-1(y)f^{-1}(y) i regel inte är samma sak som [f(y)]-1[f(y)]^{-1}, ty [f(y)]-1=1f(y)[f(y)]^{-1}=\frac{1}{f(y)}. En funktion har en invers om den är injektiv. En sådan funktion kallas omvändbar. Inversen definieras alltså av

x=f-1(y)  y=f(x)x=f^{-1}(y)\quad\iff y=f(x).

Genom att införa definitionsmässiga restriktioner på intervallen för  tan- och cotangensfunktionerna erhåller vi omvändbara funktioner som uppfyller kraven för den dubbla implikationspilen. Slutligen ett numeriskt exempel på hur inversen och invertering inte är samma sak

arccot(-3)=5π61cot(-3)\mathrm{arccot}(-\sqrt3)=\frac{5\pi}{6}\neq\frac{1}{\cot(-\sqrt3)}

dajamanté 4348
Postad: 18 maj 2018 Redigerad: 18 maj 2018
Guggle skrev:

Jättefina grafer och bra att du börjat jobba med Mathematica. Nu väntar jag bara på att du ska hitta funktioner som ReflectionMatrix[] och RotationMatrix[] :)

God morgon!

Du borde ha sett min sista babysbyte i Smutstvätts tråd, matriser viftades höger och vänster! Jag upptäckte RotationMatrix[], blodet och svett ska inte längre rinna längs pannan!

ReflectionMatrix[] har jag precis tittat på... OMG, så många timmar kunde ha varit räddat...

Men jag har ett klagomål!

När du jobbar med inversa funktioner måste du tänka på att f-1(y)f^{-1}(y) i regel inte är samma sak som [f(y)]-1[f(y)]^{-1}, ty [f(y)]-1=1f(y)[f(y)]^{-1}=\frac{1}{f(y)}. En funktion har en invers om den är injektiv. En sådan funktion kallas omvändbar. Inversen definieras alltså av

x=f-1(y)  y=f(x)x=f^{-1}(y)\quad\iff y=f(x).

Genom att införa definitionsmässiga restriktioner på intervallen för  tan- och cotangensfunktionerna erhåller vi omvändbara funktioner som uppfyller kraven för den dubbla implikationspilen. Slutligen ett numeriskt exempel på hur inversen och invertering inte är samma sak

arccot(-3)=5π61cot(-3)\mathrm{arccot}(-\sqrt3)=\frac{5\pi}{6}\neq\frac{1}{\cot(-\sqrt3)}

 Jag... är inte säker att jag förstår.

Jag förstår delen med att restriktioner är nödvandiga innan man inverterar trigonometriska funktioner. Men inte riktig delen:

arccot(-3)=5π61cot(-3)\mathrm{arccot}(-\sqrt3)=\frac{5\pi}{6}\neq\frac{1}{\cot(-\sqrt3)}

Jag har ritat och jo, det ser olika ut men jag skulle inte ha gissat själv att f-1(y) [f(y)]-1f^{-1}(y)\neq\;\lbrack f(y)\rbrack^{-1}. $$\cot(-\sqrt3)}$$ inte ens dyker upp på grafen, den impolite brat.

Guggle 1087
Postad: 18 maj 2018 Redigerad: 18 maj 2018
dajamanté skrev:

 Jag... är inte säker att jag förstår.

men jag skulle inte ha gissat själv att f-1(y) [f(y)]-1f^{-1}(y)\neq\;\lbrack f(y)\rbrack^{-1}

 

Jag försökte förklara två saker på samma gång, typisk flum-pedagogik från Guggle!

1) Alla programvaror är inte överens om restriktionen av trigonometriska funktioner och kommer därför ge dig olika värden på t.ex. arccot(x), när x<0. Men det är inte konstigare än att man har olika uppfattning om en vinkel är -30° eller 330°

2) Den inversa funktionen är INTE den inverterade funktionen. Detta kan man visa med exempel

Låt

f(x)=ax+b,  a0f(x)=ax+b, \quad a\neq0

Då gäller

f-1(x)=x-baf^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}

Detta är INTE samma sak som

[f(x)]-1=1ax+b[f(x)]^{-1}=\frac{1}{ax+b}

dajamanté 4348
Postad: 19 maj 2018

Ja, nu ser jag. Tack!

 

(och jo, det är konstigare!)

Svara Avbryt
Close