arctan(oändligheten) --> pi/2

Det hjälper att titta på grafen av $tan(x)$:

Vi ser att när $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ går $tan(x)$ mot oändligheten. Eftersom $arctan$ är motsatsen till $tan(x)$ (i allafall på ett visst intervall) borde ju värdet för $x$ när $tan(x)$ går mot oändligheten vara svaret på $arc\tan (\infty )$.

Om vi tänker oss att tan gör så att

$\frac{\mathrm{\pi }}{2}\to \infty$

borde ju arctan göra detta baklänges, d.v.s.

$\infty \to \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

alltså ger $arctan(x)$ $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ när $x$ går mot oändligheten.

AlvinB skrev :

Det hjälper att titta på grafen av $tan(x)$:

Vi ser att när $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ går $tan(x)$ mot oändligheten. Eftersom $arctan$ är motsatsen till $tan(x)$ (i allafall på ett visst intervall) borde ju värdet för $x$ när $tan(x)$ går mot oändligheten vara svaret på $arc\tan (\infty )$.

Om vi tänker oss att tan gör så att

$\frac{\mathrm{\pi }}{2}\to \infty$

borde ju arctan göra detta baklänges, d.v.s.

$\infty \to \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

alltså ger $arctan(x)$ $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ när $x$ går mot oändligheten.

Jag är med på att det går att tänka omvänt och titta på tan(x) och dess värde när x= pi/2.

Tan(Pi/2)= sin(pi/2)/ cos (Pi/2) och är alltså odefinierat ty det är 1 / 0 men om man studerar gränsvärdet uppdelat i där man kommer från positiva eller negativa sidan av nollan, så ger båda gränsvärdet lika med oändligheten ty cos(x) = cos(-x) och därmed kan värdet av Tan(Pi/2) sägas gå mot oändligheten. Är jag rätt på det?

Ja, det är ju det här som är lite klurigt. Det är ju faktiskt så att $tan(x)$ ger olika värden beroende på om man närmar sig $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ från det positiva eller negativa hållet, nämligen:

$$\begin{gathered} \underset{x\to {\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{-}}{\lim }\tan \left(x\right)=\infty \\ \underset{x\to {\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{+}}{\lim }\tan \left(x\right)=-\infty \end{gathered}$$

Detta betyder att gränsvärdet för $tan(x)$ när $x$ går mot $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ faktiskt inte existerar. Men, vi kan ändå säga att $arc\tan (\infty )=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Detta är eftersom $arctan$ bara är invers till $tan$ i intervallet $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2},\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ (sett från x-värden för $tan(x)$), Alltså är det enda gränsvärdet som är relevant för $arctan(x)$ det när man närmar sig från den negativa sidan (eftersom man hamnar utanför intervallet om man försöker närma sig från den positiva sidan), och då kan vi säga:

$\underset{x\to \infty }{\lim }arc\tan \left(x\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Aha, okej då är jag med, tack

Jag tycker det underlättar att tänka på tan x som riktningskoefficienten för vinkelbenet. Då blir det (tycker jag) ganska självklart att om ju större den spetsiga vinkeln blir, desto större blir tan V, d v s riktningskoefficienten, och när vinkeln blir rät går det inte att skriva linjen på formen y = kx+0.

Smaragdalena skrev :

Jag tycker det underlättar att tänka på tan x som riktningskoefficienten för vinkelbenet. Då blir det (tycker jag) ganska självklart att om ju större den spetsiga vinkeln blir, desto större blir tan V, d v s riktningskoefficienten, och när vinkeln blir rät går det inte att skriva linjen på formen y = kx+0.

Tack för en bra inflikning, alltid bra att kunna få det förankrat delvis geometriskt.