Area under kurvan

krydd skrev:

Hej,

Har problem med följande uppgift:

"Kurvan $y = 4x - x^2$ begränsar tillsammans med x-axeln ett område. Välj själv en linje som inte är parallell med axlarna och som delar området i två delar med lika stor area. Vilket ekvation får din linje?"

 

Mitt tillvägagångssätt var att först beräkna arean under den angivna kurvan. $\int\limits_{0}^4 (4x-x^2)dx$ får jag till en primitiv funktion $2x^2-\frac{1}{3}x^3$. Med de angivna integrationsgränserna ger det mig en area på $\frac{32}{3}$a.e.

Jag tänker mig att jag vill ha halva denna area som resultatet av en integration mellan den ursprungliga kurvan minus min egna linje, dvs jag vill att resultatet av den integrationen skall bli $\frac{16}{3}$.

Min linje kommer att vara rät, dvs den kan skrivas på formen $y = kx + m$.

Jag gör så att jag tänker mig den primitiva funktionen ovan minus den primitiva funktionen $G(x)$ för min egna linje $g(x)$. Det bör då kunna skrivas $2x^2-\frac{1}{3}x^3-kx^2 = \frac{16}{3}$ där $kx^2$ alltså utgör den primitiva funktionen för min räta linje. Eftersom den nedre integrationsgränsen är $0$ bryr jag mig inte om den. Genom att sätta in $x=4$ får jag $k=\frac{1}{3}$.

Dvs $G(x) = \frac{1}{3}x^2$ vilket ger $g(x)=\frac{2}{3}x$. $m=0$ då linjen går genom origo.

Jag ser i facit att rätt svar för en linje genom origo är $(4 - \sqrt[3]{32})x$

Bifogat en bild på de två linjerna, min är den röda och har inte riktigt rätt vinkel.

Var räknar jag/tänker fel?

 

Varför sätter du in att x = 4? Din linje skär ju inte den blå linjen när x = 4.

Smaragdalena skrev:

Varför sätter du in att x = 4? Din linje skär ju inte den blå linjen när x = 4.

Nä det kan ju inte stämma vid närmare eftertanke. Men hur gör jag? Har kört fast.

Jag söker en skärningspunkt mellan den räta linjen $g(x)$ samt $4x-x^2$ i en punkt $p$. Om jag integrerar från 0 till p och subtraherar den primitiva funktionen av g(x) ifrån den primitiva funktionen i uppgiften vill jag att det skall bli hälften så stort som den ursprungliga integrationen, eller? Vet inte hur jag tar mig vidare.

Du har tänkt helt rätt för övrigt. Vilka koordinater har punkten där linjen y = kx  skär kurvan y = 4x-x²?

Smaragdalena skrev:

Du har tänkt helt rätt för övrigt. Vilka koordinater har punkten där linjen y = kx  skär kurvan y = 4x-x²?

Det torde vara $k = 4-x$.

Men sätter jag det in det i uppställningen som jag hade tidigare så blir det:

$2x^2 - \frac{1}{3}x^3-(4-x)x^2$ vilket jag förenklar till $x^3-3x^2 = 8$ eller $x^2(x-3) = 8$ om man så vill.

krydd skrev:

Smaragdalena skrev:

Du har tänkt helt rätt för övrigt. Vilka koordinater har punkten där linjen y = kx  skär kurvan y = 4x-x²?

Det torde vara $k = 4-x$.

Men sätter jag det in det i uppställningen som jag hade tidigare så blir det:

$2x^2 - \frac{1}{3}x^3-(4-x)x^2$ vilket jag förenklar till $x^3-3x^2 = 8$ eller $x^2(x-3) = 8$ om man så vill.

Det du vill ha är x-värdet, så att du kan sätta in det övre integrationsgräns i uttrycket du redan har tagit fram (om jag itne har missförstått hur du har tänkt). Integralen kommer att bli nånting som beror på k, och eftersom du vet värdet på integralen kan du räkna fram k.

Smaragdalena skrev:

Det du vill ha är x-värdet, så att du kan sätta in det övre integrationsgräns i uttrycket du redan har tagit fram (om jag itne har missförstått hur du har tänkt). Integralen kommer att bli nånting som beror på k, och eftersom du vet värdet på integralen kan du räkna fram k.

Möjligen har du överskattat min tankeförmåga. Kan jag verkligen bestämma x? Jag ser bara hur jag kan uttrycka det $x=4-k$ i så fall. Om jag använder det som x-värde för den primitiva funktion jag ställt upp så blir det i så fall alltså:

$2(4-k)^2 - \frac{1}{3}(4-k)^3 - k(4-k)$ vilket jag får till $k^3-12k-3k^2 = -16$, men jag antar att det är fel tillvägagångssätt. Kan jag bestämma x på något bättre sätt?

Åh, jag gjorde det knepigare än vad det behövde vara. Först ett slarvfel i den Primitiva funktionen g(x), sen var det enda som fattades att byta ut k mot $4-x$, då landar man i att den övre integreringspunkten skall vara $\sqrt[3]{32}$ vilket ger $y = (4-\sqrt[3]{32})x$.

Tack för hjälpen!

Där ser du, jag överskattade inte din tankeförmåga! Du kom på att man kunde byta ut k mot 4-x.