Areafunktionens definitionsmängd

P(x,3-x² )

P ligger på kurvan i första kvadranten, vilket betyder att P kan vara väldigt nära y-axeln (då x är väldigt nära 0 men inte 0) fram till att P kan vara väldigt nära x-axeln (då x är väldigt nära $\sqrt{3}$, men når inte $\sqrt{3}$). Detta betyder att 0<x<$\sqrt{3}$.

Mohammad Abdalla skrev:

P(x,3-x² )

P ligger på kurvan i första kvadranten, vilket betyder att P kan vara väldigt nära y-axeln (då x är väldigt nära 0 men inte 0) fram till att P kan vara väldigt nära x-axeln (då x är väldigt nära $\sqrt{3}$, men når inte $\sqrt{3}$). Detta betyder att 0<x<$\sqrt{3}$.

Jag förstår fortfarande inte. Varför kan inte x vara mindre än 0 och gå in på andra kvadranten? Vad hände med andra halvan av rektangeln?

Punkten P är definierad till att ligga i första kvadranten. Och rektangeln bestäms helt av var P är, eftersom Q bara är en spegling av P, och de två andra hörnen har samma x-koordinater som P och Q.

Så, P går inte in i andra kvadranten, för man har bestämt att den är i första. Men, du kan egentligen låta P gå in i andra kvadranten om du vill. Om Q är spegelpunkten, då hamnar ju den istället i första kvadranten. Och då blir rektangeln bara en dublett där P och Q bytt plats.

Punkten   P  kan förflyttas på den röda kurvan uppåt nästan till y-axeln (till punkt R)
Då bildas den röda rektangeln i bilden nedan. Den har basen bara lite mer än 0 och höjden bara lite mindre än 3.

Punkten   P  kan förflyttas på den röda kurvan nedåt nästan till x-axeln (till punkt G)
Då bildas den gröna rektangeln i bilden nedan. Den har basen bara lite mindre än $2\sqrt{3}$och höjden bara lite mer än 0.

Skaft skrev:

Punkten P är definierad till att ligga i första kvadranten. Och rektangeln bestäms helt av var P är, eftersom Q bara är en spegling av P, och de två andra hörnen har samma x-koordinater som P och Q.

Så, P går inte in i andra kvadranten, för man har bestämt att den är i första. Men, du kan egentligen låta P gå in i andra kvadranten om du vill. Om Q är spegelpunkten, då hamnar ju den istället i första kvadranten. Och då blir rektangeln bara en dublett där P och Q bytt plats.

Okej jag tror att jag greppat den delen. Men varför kan inte x vara roten ur 3? Jag förstår att den inte kan vara 0 annars skulle arean bli 0 a.e. 

Fysikguden1234 skrev:

Mohammad Abdalla skrev:

P(x,3-x² )

P ligger på kurvan i första kvadranten, vilket betyder att P kan vara väldigt nära y-axeln (då x är väldigt nära 0 men inte 0) fram till att P kan vara väldigt nära x-axeln (då x är väldigt nära $\sqrt{3}$, men når inte $\sqrt{3}$). Detta betyder att 0<x<$\sqrt{3}$.

Jag förstår fortfarande inte. Varför kan inte x vara mindre än 0 och gå in på andra kvadranten? Vad hände med andra halvan av rektangeln?

Du kan säga då att P och Q byter plats. Men det du behöver ta hänsyn till här när P(x,3-x² ) ligger i andra kvadranten är att x är negativ, vilket leder till att basen på triangeln blir -2x istället för 2x. Höjden påverkas inte då för att y-koordinat på P är fortfarande  positiv.

Om x är $\sqrt{3}$ blir istället rektangelns höjd noll.

... och om rektangelns höjd är 0 så är det inte en rektangel, utan ett endimensionellt streck.

Skaft skrev:

Om x är $\sqrt{3}$ blir istället rektangelns höjd noll.

Nu förstår jag inte. Om vi har den givna definitionsmängden så kommer vi endast veta arean av den rödmarkerade ytan alltså 0 < x < sqrt(3). Ska vi helt utesluta den delen av rektangeln som ligger på den negativa sidan (andra kvadranten) 

Definitionsmängden $0 < x < \sqrt{3}$ motsvarar inte den röda ytan, utan intervallet av giltiga x-koordinater för punkten P. För varje sådan punkt P bildas en rektangel. Den rektangeln sträcker sig in i andra kvadranten, trots att punkt P är kvar i första kvadranten. P är bara rektangelns övre högra hörn, men rektangeln har också ett övre vänstra hörn Q, som är i andra kvadranten.

Rektangelns höjd ges av P:s y-koordinat, som är $3-x^2$. Om x fick vara $\sqrt{3}$, då blir ju den här y-koordinaten $3 - (\sqrt{3})^2 = 3- 3 = 0$.

Skaft skrev:

Definitionsmängden $0 < x < \sqrt{3}$ motsvarar inte den röda ytan, utan intervallet av giltiga x-koordinater för punkten P. För varje sådan punkt P bildas en rektangel. Den rektangeln sträcker sig in i andra kvadranten, trots att punkt P är kvar i första kvadranten. P är bara rektangelns övre högra hörn, men rektangeln har också ett övre vänstra hörn Q, som är i andra kvadranten.

Rektangelns höjd ges av P:s y-koordinat, som är $3-x^2$. Om x fick vara $\sqrt{3}$, då blir ju den här y-koordinaten $3 - (\sqrt{3})^2 = 3- 3 = 0$.

Så definitionsmängden gäller bara koordinaten P för att det är den punkten eller det värdet vi utgår från när vi beräknar arean? Har jag rätt här? Det är fortfarande lite klurigt men jag förstår men än vad jag gjorde förut 

Skaft skrev:

Definitionsmängden $0 < x < \sqrt{3}$ motsvarar inte den röda ytan, utan intervallet av giltiga x-koordinater för punkten P. För varje sådan punkt P bildas en rektangel. Den rektangeln sträcker sig in i andra kvadranten, trots att punkt P är kvar i första kvadranten. P är bara rektangelns övre högra hörn, men rektangeln har också ett övre vänstra hörn Q, som är i andra kvadranten.

Rektangelns höjd ges av P:s y-koordinat, som är $3-x^2$. Om x fick vara $\sqrt{3}$, då blir ju den här y-koordinaten $3 - (\sqrt{3})^2 = 3- 3 = 0$.

Förresten varför kan inte x vara större än roten ur 3 eller mindre 0? Hur är den inte definierad för de värdena? Jag kanske kan lista ut att den kan inte vara större än roten ur 3 för att det är utanför kurvan. Men hur kan den inte vara mellan -sqrt3 och sqrt 3 

Fysikguden1234 skrev:

Förresten varför kan inte x vara större än roten ur 3 eller mindre 0? Hur är den inte definierad för de värdena? Jag kanske kan lista ut att den kan inte vara större än roten ur 3 för att det är utanför kurvan. Men hur kan den inte vara mellan -sqrt3 och sqrt 3 

Pröva själv!

Om $x>\sqrt{3}$, ligger då P i första kvadranten?

Om $x<0$, ligger då P i första kvadranten?

Yngve skrev:

Fysikguden1234 skrev:

Förresten varför kan inte x vara större än roten ur 3 eller mindre 0? Hur är den inte definierad för de värdena? Jag kanske kan lista ut att den kan inte vara större än roten ur 3 för att det är utanför kurvan. Men hur kan den inte vara mellan -sqrt3 och sqrt 3 

Pröva själv!

Om $x>\sqrt{3}$, ligger då P i första kvadranten?

Om $x<0$, ligger då P i första kvadranten?

Jag prövade med -2 och 2 och nej dem ligger inte i första kvadranten. X kommer bli -10 och den kommer ligga i andra kvadranten. Men hur ska man veta vilka värden definitionsmängden är i detta fall? Ska man bara gissa sig fram? 

Fysikguden1234 skrev:

Jag prövade med -2 och 2 och nej dem ligger inte i första kvadranten. X kommer bli -10 och den kommer ligga i andra kvadranten. Men hur ska man veta vilka värden definitionsmängden är i detta fall? Ska man bara gissa sig fram? 

Nej du behlver inte gissa dig fram.

Punkten P ska ligga i första kvadranten.

Området ska bilda en rektangel.

Du har själv konstaterat att det innebär att $0\leq x\leq\sqrt{3}$.

Vi har konstaterat att både $x=0$ och $x=\sqrt{3}$ går bort eftersom det då inte blir en rektangel.

Kvar blir bara $0<x<\sqrt{3}$

Punkten   P  kan förflyttas på den röda kurvan uppåt nästan till y-axeln (till punkt R)
Då bildas den röda rektangeln i bilden nedan. Den har basen bara lite mer än 0 och höjden bara lite mindre än 3.

Punkten   P  kan förflyttas på den röda kurvan nedåt nästan till x-axeln (till punkt G)
Då bildas den gröna rektangeln i bilden nedan. Den har basen bara lite mindre än 23–√ 23 och höjden bara lite mer än 0.