Areaproblem

Fundera ett varv till på beloppet av vektorn  $2 a^2 e_1 + 2a^2 e_2 - 4 e_3$. Du har bara summerat koefficienterna för respektive basvektor, men är det verkligen så man bestämmer längden av en vektor?

Jag har funderat och tittat i min kompendium, men jag är inte säker att det är rätt.

Är det:

$$\begin{gathered} \left|\left(2a^2\right)+\left(2a^2\right)+(-4)\right|=\sqrt{{\left(2a^2\right)}^2+{\left(2a^2\right)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{8a^4+16} \\ =2\sqrt{2a^4+4} \end{gathered}$$

?

Hej!

1. Du har beräknat kryssprodukten fel. Det ska vara $0.5(2a^2e{1}-2a^2e_2-4e_3)$.

2. Kryssproduktens längd är minimal då uttrycket $(2a^2)^2+(-2a^2)^2+(-4)^2$ antar sitt minsta värde, det vill säga då funktionen $g(a) = a^4+2$ antar sitt minsta värde; funktionens definitionsmängd är $D_g = \mathbf{R}$.

Albiki

Tack för svaret Albiki.

Jag har försökt att fixa slarvfelet framför$e_{2}$ och förstår forfarande inte:

$0.5\left(2a^2{e}_1+{\left(-1\right)}^{2+3}\left|-2·a^2-0·0\right|e_2+-4e_3\right)$

Jag får inte till det -2 framför e2. Vad missar jag?

På något sätt beräknar du determinanten fel.

Det ska väl inte vara ett absolutbelopp som du skrev?

Mitt i lilla parentesen? Nej det är en determinant beräkning.

Mellersta termen blir 

(-1)^5

gånger

(-2) *a^2

gånger vektorn e_2

Ok! If håller du med mig du att -1*-2 är lila med +2? Men Albiki skriver  -2? Kan du räkna determinanten Bubo?

Jag har glömt bort det där med att stryka rad och kolumn och sedan beräkna determinanten av en mindre matris.

Sarrus regel ger bidraget

0*e2*0 - (-2)*e2*a^3

Hej!

Det är bäst att börja om från början.

Triangelns hörn är punkterna $A(2,0,7)$ och $B(0,2,7)$ samt $C(2,2,7+a^2).$ Dessa punkter bildar två vektorer

    $u = AB = (0,2,7) - (2,0,7) = (-2,2,0)$ och $v = AC = (2,2,7+a^2)-(2,0,7) = (0,2,a^2).$

Den vektoriella produkten $u \times v$ har en längd som är lika med arean hos parallellogrammet som spänns upp av vektorerna $u$ och $v$; triangelns area ($\Delta ABC$) är lika med hälften av parallellogrammets area.

    $\displaystyle\Delta ABC = \frac{1}{2}|u\times v|.$

Den vektoriella produkten beräknas som

    $\displaystyle u \times v = (-2,2,0) \times (0,2,a^2) = (2a^2-0)e_{1}+(0-(-2a^2))e_{2} +(-4-0)e_{3} = (2a^2,2a^2,-4)$

och dess längd är

    $\displaystyle |u\times v| = \sqrt{(2a^2)^2+(2a^2)^2+(-4)^2} = \sqrt{8a^4+16} = \sqrt{8}\cdot \sqrt{a^4+2}.$

Triangelns area beror på parametern $a$ enligt följande samband och definierar därför en funktion ($f$) från de reella talen till de positiva talen.

    $\displaystyle\Delta ABC = \frac{2\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^4+2} = \sqrt{2}\sqrt{a^4+2} \equiv f(a).$

Man ser direkt att funktionens minsta värde är $\sqrt{2}\sqrt{0^4+2} = 2.$

Albiki

Tack Albiki! Jag förstår inte vad du gjorde med modulo räkning. Till slut hittar jag detta resultat också men det är fortfarande fel svar. Jag skriver till lärarn.