Att bestämma resten

Du kan utnyttja formeln $\sum _{i=0}^n{2}^i = 2^{n+1} - 1$

Macilaci skrev:

Du kan utnyttja formeln $\sum _{i=0}^n{2}^i = 2^{n+1} - 1$

Hur kom du till den formeln?? Jag vet ej hur du menar att vi ska utnyttja den

Det är mycket lättare att hitta resten för 2³⁵⁹¹-1 än för en stor stor summa.

Macilaci skrev:

Det är mycket lättare att hitta resten för 2³⁵⁹¹-1 än för en stor stor summa.

Jag förstår ej var du får de här siffrorna ifrån. Det är oberipligt vad du gör justnu. Misstänker att du skapade en geometrisk summa av detta..

Du är på rätt spår. Det är en geometrisk summa.

Macilaci skrev:

Du är på rätt spår. Det är en geometrisk summa.

Aa och då har vi 2^n-1. Ska vi dela 2^n-1 med 13? Vi vet ju ej vilken n vi har nu.

Hitta det minsta värdet för $k>0$ så att:

$2^k \mathrm{mod} 13 = 1$

Låt

 $s = \sum _{i=0}^{k-1}{2}^i \mathrm{mod} 13$

Eftersom

$\sum _{i=0}^{k-1}{2}^{nk+i }= {\left(2^k\right)}^n·\sum _{i=0}^{k-1}{2}^{i }$

så måste 

$\sum _{i=0}^{k-1}{2}^{nk+i }\mathrm{mod} 13= {\left(2^k \mathrm{mod} 13\right)}^n·\left(\sum _{i=0}^{k-1}{2}^{i }\mathrm{mod} 13\right) = 1^n · s = s$

Din summa har 3591 termer och varje grupp av $k$ bidrar med $s$ till resten.

Hitta därför värdena på $q\ge 0$ och $0\le r\le k$ så att:

$q·k + r = 3591$

Resten blir då:

$\left(q·s + \sum _{i=0}^{r-1}{2}^i\right) \mathrm{mod} 13$

jarenfoa skrev:

Hitta det minsta värdet för $k>0$ så att:

$2^k \mathrm{mod} 13 = 1$

Låt

 $s = \sum _{i=0}^{k-1}{2}^i \mathrm{mod} 13$

Eftersom

$\sum _{i=0}^{k-1}{2}^{nk+i }= 2^{nk}·\sum _{i=0}^{k-1}{2}^{i }$

så måste 

$\sum _{i=0}^{k-1}{2}^{nk+i }\mathrm{mod} 13= \left(2^{\mathrm{nk}} \mathrm{mod} 13\right)·\left(\sum _{i=0}^{k-1}{2}^{i }\mathrm{mod} 13\right) = 1^n · s = s$

Din summa har 3591 termer och varje grupp av $k$ bidrar med $s$ till resten.

Hitta därför värdena på $q\ge 0$ och $0\le r\le k$ så att:

$qk + r = 3591$

Resten blir då:

$\left(q·s + \sum _{i=0}^{r-1}{2}^i\right) \mathrm{mod} 13$

Fattar ingenting.. vad är q ,k och r? Och vad är 3591? Varför sätter vi dem lika med 3591?

$k$, $q$ och $r$ är variabler som gör det enklare att visa hur problemet kan lösas.

Förstår du min allra första formel: $2^k \mathrm{mod} 13 = 1$ ?

Kan du i så fall använda den för att räkna ut $k$?

jarenfoa skrev:

$k$, $q$ och $r$ är variabler som gör det enklare att visa hur problemet kan lösas.

Förstår du min allra första formel: $2^k \mathrm{mod} 13 = 1$ ?

Kan du i så fall använda den för att räkna ut $k$?

Nej jag förstår ej din formel tyvärr och var den kommer ifrån. Jag är även ej med på q ,r och k heller.  Jag har 2^n-1 mha geometrisk summa formel!

Strunta i den geometriska formeln.
Den kommer att ge dig siffror som är alldeles för stora för att hantera.
När man räknar på rester av stora summer gäller det att hålla siffrorna små.

När man skall räkna ut resten av en summa är det lämpligt
att först försöka räkna ut resten av varje enskild term.

Resten av $2^i$ när man delar med tretton kan skrivas som: $2^i \mathrm{mod} 13$
Låt oss börja från början:
$$\begin{gathered} 2^0 \mathrm{mod} 13 = 1 \\ {2}^1 \mathrm{mod} 13 = 2 \\ {2}^2 \mathrm{mod} 13 = 4 \\ {2}^3 \mathrm{mod} 13 = 8 \\ {2}^4 \mathrm{mod} 13 = 3 \end{gathered}$$ 

Som du ser kan inte resten bli större än 13.
Om du fortsätter en bit till kommer du därför snart till ett $k>0$ så att:
$2^k \mathrm{mod} 13 = 1$

Kan du nu räkna ut värdet på $k$ ? 

Det är lätt att hitta k med Eulers teorem. $k = \phi \left(13\right) = 12$

Man kan mycket riktigt använda Eulers teorem här.
Men eftersom vi strax kommer att behöva värdet av 
$2^i \mathrm{mod} 13$ för alla $0\le i<k$ så skadar det inte att faktiskt
räkna sig framtill detta ett $i$ i taget.

När du väl har beräknat $k$ kan du använda formeln
från mitt första inlägg för att beräkna den lilla summan $s$.

jarenfoa skrev:

När du väl har beräknat $k$ kan du använda formeln
från mitt första inlägg för att beräkna den lilla summan $s$.

Jag förstår tyvärr ej din formel och vad du gör.  Därför kan jag ej göra något förrän jag förstår vad vi håller på med.

Finns det en lättare väg att lösa frågan på?

Resterna av termerna kommer att börja upprepa sig i och med term $k$

Alla termer av typen $2^{n·k +i}$ kommer att ha samma rest.

Det betyder att summan av de första $k$ stycken termernas rester 
kommer att vara samma som summan av nästa $k$ stycken termers rester.

Det är den summan jag betecknat med $s$.

jarenfoa skrev:

Resterna av termerna kommer att börja upprepa sig i och med term $k$

Alla termer av typen $2^{n·k +i}$ kommer att ha samma rest.

Det betyder att summan av de första $k$ stycken termernas rester 
kommer att vara samma som summan av nästa $k$ stycken termers rester.

Det är den summan jag betecknat med $s$.

Jag går vidare och väljer att ej fortsätta med den här uppgiften. Väldigt obegripligt.

Lycka till!

jarenfoa skrev:

Lycka till!

Tack! Men nästA gång får du förklara på ett enklare sätt och förståeligt. Det går ej att hänga med i något av vad du skriver. Jag kan ej lösa såna uppgifter när kommunikationen brister.

Det finns kanske ett lite enklare sätt. I #7 skrev du:

Aa och då har vi 2^n-1. Ska vi dela 2^n-1 med 13? Vi vet ju ej vilken n vi har nu.

Jo, vi vet. n = 3591

(Jag jan förklara varför.) 

Vi kan försöka dela 2³⁵⁹¹ -1 med 13 och hitta resten.

Macilaci skrev:

Det finns kanske ett lite enklare sätt. I #7 skrev du:

Aa och då har vi 2^n-1. Ska vi dela 2^n-1 med 13? Vi vet ju ej vilken n vi har nu.

Jo, vi vet. n = 3591

(Jag jan förklara varför.) 

Vi kan försöka dela 2³⁵⁹¹ -1 med 13 och hitta resten.

Aha men 3591 är väl nästa term? Varför tae man ej n=3590?

Menar du såhär?

Summan i uppgiften är 1+2¹+2²+...+2³⁵⁹⁰ dvs n-1 = 3590 så n=3591

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/aritmetik/geometrisk-summa

Macilaci skrev:

Summan i uppgiften är 1+2¹+2²+...+2³⁵⁹⁰ dvs n-1 = 3590 så n=3591

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/aritmetik/geometrisk-summa

Jag ser men förstår ej varför vi börjar med n=3591.  Jag trodde om man ökade med n hela tiden. Vill du förtydliga detta för mig?

Jag kan jämföra det med mindre summor:

1+2+4 = 7 = 8-1  (1+2¹+2² = 2³-1)

1+2+4+8 = 15 = 16-1  (1+2¹+2²+2³ = 2⁴-1)

...

1+2¹+2²+...+2³⁵⁹⁰ = 2³⁵⁹¹-1

Macilaci skrev:

Jag kan jämföra det med mindre summor:

1+2+4 = 7 = 8-1  (1+2¹+2² = 2³-1)

1+2+4+8 = 15 = 16-1  (1+2¹+2²+2³ = 2⁴-1)

...

1+2¹+2²+...+2³⁵⁹⁰ = 2³⁵⁹¹-1

Det ringer ingen klocka..

Kolla formeln i formelsamlingen:

$S_n = a +ak +a{k}^2 +...+a{k}^{n-1} = \frac{a(k^n-1)}{k-1}$

a=1

k=2

n=3591

$S_n = \frac{1*(2^{3591}-1)}{2-1}=2^{3591}-1$

Macilaci skrev:

Kolla formeln i formelsamlingen:

$S_n = a +ak +a{k}^2 +...+a{k}^{n-1} = \frac{a(k^n-1)}{k-1}$

a=1

k=2

n=3591

S_n = 2³⁵⁹¹-1

2^3591 -1 är alltså vad det skulle bli om vi summerade upp till 2^3590 som exemplet med 7?

Ja.

Frågan är nu: Vad blir resten om vi delar 2³⁵⁹¹-1 med 13?

Macilaci skrev:

Ja.

Frågan är nu: Vad blir resten om vi delar 2³⁵⁹¹-1 med 13?

Ja det vet jag ej hur man löser. Polynomdivison funkar ej va?

Nej, jag tror inte det. Men det löner sig (som jarenfoa sa) att titta på vilka rest ger olika potenser av 2.

Jag skapade ett litet Excel ark.

Det är intressant och det är alltid så att resten upprepar sig.

Tillägg: 12 okt 2023 18:21

Resten upprepar sig för var tolvte n.

Jag gjorde såhär.  Men kommer ingenvart

Det är bra. Vi kan börja med 2³⁵⁹¹ och sen ta bort 1.

Så jag tittar på mitt Excel ark och vet att t.ex.

2²⁴ (mod 13) = 1

2⁴⁸ (mod 13) = 1

2¹²⁰⁰ (mod 13) = 1

(eftersom 24, 48, 1200 är multiplar av 12).

Macilaci skrev:

Det är bra. Vi kan börja med 2³⁵⁹¹ och sen ta bort 1.

Så jag tittar på mitt Excel ark och vet att t.ex.

2²⁴ (mod 13) = 1

2⁴⁸ (mod 13) = 1

2¹²⁰⁰ (mod 13) = 1

 

(eftersom 24, 48, 1200 är multiplar av 12).

Du använder en excelark medan jag vill gärna använda papper och penna då denna fråga är en tentamen fråga.  Inga hjälpmedel är tillåtna.  Hur kommer vi fram till att 2^24(mod13)=1?  Du säger att jag ska räkna 2^3591-1 mod13. Hur gör vi det med papper bara?

destiny99 skrev:

jarenfoa skrev:

Lycka till!

Tack! Men nästA gång får du förklara på ett enklare sätt och förståeligt. Det går ej att hänga med i något av vad du skriver. Jag kan ej lösa såna uppgifter när kommunikationen brister.

Jag skulle gärna förklara på ett enklare sätt och jag ber om ursäkt
för att jag inte lyckades bedöma vilken nivå jag skulle lägga min förklaring på.

Jag är dock osäker på vad det var i mitt inlägg #12 som var oklart.

Skulle du kunna förklara det för mig så att jag kan ge bättre instruktioner nästa gång?

Det var bara lite snabbare med Excel. På papper går det utmärkt:

2⁰ mod 13 = 1

2¹ mod 13 = 2

2² mod 13 = 4

2³ mod 13 = 8

2⁴ mod 13 = 3

2⁵ mod 13 = 6

2⁶ mod 13 = 12

... jag kan beräkna talen rekursivt. (Genom att fördubbla dem och ta bort 13 om de blir för stora)

Macilaci skrev:

Det var bara lite snabbare med Excel. På papper går det utmärkt:

2⁰ mod 13 = 1

2¹ mod 13 = 2

2² mod 13 = 4

2³ mod 13 = 8

2⁴ mod 13 = 3

2⁵ mod 13 = 6

2⁶ mod 13 = 12

... jag kan beräkna talen rekursivt. (Genom att fördubbla dem och ta bort 13 om de blir för stora)

Okej varför räknar vi ut massa rester här ? Sen ser jag att du räknar med 2^n? Jag hänger ej med riktigt här. Vi har 2^(n)-1 mod13

destiny99 skrev:

Macilaci skrev:

Det var bara lite snabbare med Excel. På papper går det utmärkt:

2⁰ mod 13 = 1

2¹ mod 13 = 2

2² mod 13 = 4

2³ mod 13 = 8

2⁴ mod 13 = 3

2⁵ mod 13 = 6

2⁶ mod 13 = 12

... jag kan beräkna talen rekursivt. (Genom att fördubbla dem och ta bort 13 om de blir för stora)

Okej varför räknar vi ut massa rester här ? Sen ser jag att du räknar med 2^n? Jag hänger ej med riktigt här. Vi har 2^(n)-1 mod13

Idén är att försöka hitta ett mönster i resterna.

Om vi hittar ett mönster kan vi spola mönstret ända fram till $2^{3591}$

Då får vi reda på $2^{3591} \mathrm{mod} 13$ utan att faktisk behöva räka ut den gigantiska siffran $2^{3591}$.

jarenfoa skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Macilaci skrev:

Det var bara lite snabbare med Excel. På papper går det utmärkt:

2⁰ mod 13 = 1

2¹ mod 13 = 2

2² mod 13 = 4

2³ mod 13 = 8

2⁴ mod 13 = 3

2⁵ mod 13 = 6

2⁶ mod 13 = 12

... jag kan beräkna talen rekursivt. (Genom att fördubbla dem och ta bort 13 om de blir för stora)

Okej varför räknar vi ut massa rester här ? Sen ser jag att du räknar med 2^n? Jag hänger ej med riktigt här. Vi har 2^(n)-1 mod13

Idén är att försöka hitta ett mönster i resterna.

Om vi hittar ett mönster kan vi spola mönstret ända fram till $2^{3591}$

Då får vi reda på $2^{3591} \mathrm{mod} 13$ utan att faktisk behöva räka ut den gigantiska siffran $2^{3591}$.

Som jag ser så får vi en rest med fördubbling av 2  om vi tittar på 1-12 så 2^(3591)-1 mod13 har en rest på 2*x. Då får jag 2^(3591)/2mod13=x vilket ger oss x=2^3590. Så resten är 2^3590?

Om du tittar lite närmare på Macilacis excel ark
så kanske du kan se att resten för ett värde av n (en rad i arket)
är samma som resten för n-12 (tolv rader ovanför).

Rent matematiskt kan det skrivas så här:
 $2^n \mathrm{mod} 13 = 2^{n-12} \mathrm{mod} 13$

jarenfoa skrev:

Om du tittar lite närmare på Macilacis excel ark
så kanske du kan se att resten för ett värde av n (en rad i arket)
är samma som resten för n-12 (tolv rader ovanför).

Rent matematiskt kan det skrivas så här:
 $2^n \mathrm{mod} 13 = 2^{n-12} \mathrm{mod} 13$

Jag ser ej mönstret i excel arken. Jag förstår ej riktigt vad n-12 menas med? Asså vad är det du tittar på menar du??

Titta på excel arket.

Välj en rad i den undre halvan av arket, vilken som helst.

I första kolumnen står en siffra som vi kallar $n$.
I tredje kolumnen står resten när $2^n$ delas med 13.
Är du med så långt?

Om du nu går 12 rader upp i arket så hittar du en rad
där siffran i första kolumnen är 12 lägre
än i den förra raden vi tittade på ($n-12$)
Är du med så långt?

Ser du att siffran i tredje kolumnen i denna raden
är samman som siffran i tredje kolumnen var i den förra raden?

jarenfoa skrev:

Titta på excel arket.

Välj en rad i den undre halvan av arket, vilken som helst.

I första kolumnen står en siffra som vi kallar $n$.
I tredje kolumnen står resten när $2^n$ delas med 13.
Är du med så långt?

Om du nu går 12 rader upp i arket så hittar du en rad
där siffran i första kolumnen är 12 lägre
än i den förra raden vi tittade på ($n-12$)
Är du med så långt?

Ser du att siffran i tredje kolumnen i denna raden
är samman som siffran i tredje kolumnen var i den förra raden?

Ja jag ser tredje kolumnen i rad 1. Då n=11 har vi  rest 7 och går upp till n=0 har vi rest 1. Antar det är det du menar ? Jag ser ej heller där du säger "

Ser du att siffran i tredje kolumnen i denna raden
är samman som siffran i tredje kolumnen var i den förra raden?"

Det finns några olika räkneregler för kongruensräkning man lär sig på gymnasiet, se t.ex. denna länk

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kongruensrakning/kongruensrakning#!/

Alltså gäller

$2^{12}\equiv 1 (\mod 13)$

$2^{3591}\equiv (2^{12})^{299}\cdot 2^3\equiv 2^3 \equiv 8 (\mod 13)$

Glöm inte att problemet gällde $2^{3591}-1$.

D4NIEL skrev:

Det finns några olika räkneregler för kongruensräkning man lär sig på gymnasiet, se t.ex. denna länk

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kongruensrakning/kongruensrakning#!/

Alltså gäller

$2^{12}\equiv 1 (\mod 13)$

$2^{3591}\equiv (2^{12})^{299}\cdot 2^3\equiv 2^3 \equiv 8 (\mod 13)$

Glöm inte att problemet gällde $2^{3591}-1$.

Var fick du exponenten 12 ifrån? 8 mod 13 har en rest på -5 ?

Ursäkta men varför skriver du två produkter och sen skriver konguent med 2^3 konguent med 8 mod 13? Förstår ej hela den raden.

destiny99 skrev:

jarenfoa skrev:

Titta på excel arket.

Välj en rad i den undre halvan av arket, vilken som helst.

I första kolumnen står en siffra som vi kallar $n$.
I tredje kolumnen står resten när $2^n$ delas med 13.
Är du med så långt?

Om du nu går 12 rader upp i arket så hittar du en rad
där siffran i första kolumnen är 12 lägre
än i den förra raden vi tittade på ($n-12$)
Är du med så långt?

Ser du att siffran i tredje kolumnen i denna raden
är samman som siffran i tredje kolumnen var i den förra raden?

Ja jag ser tredje kolumnen i rad 1. Då n=11 har vi  rest 7 och går upp till n=0 har vi rest 1. Antar det är det du menar ? Jag ser ej heller där du säger "

Ser du att siffran i tredje kolumnen i denna raden
är samman som siffran i tredje kolumnen var i den förra raden?"

Låt mig förklara med några exempel.
Jag bad dig välja en rad i den undre halvan av arket.

Låt oss välja raden där siffran i första kolumnen ($n$) lika med 14. 
Då är siffran i tredje kolumnen ($2^{14} \mathrm{mod} 13$) lika med 4.
Om vi går 12 rader upp är siffran i första kolumnen lika med 2 (eller $n-12$).
Där är siffran i tredje kolumnen (eller $2^2 \mathrm{mod} 13$) också lika med 4.

Låt oss välja raden där siffran i första kolumnen ($n$) lika med 17. 
Då är siffran i tredje kolumnen ($2^{17} \mathrm{mod} 13$) lika med 6.
Om vi går 12 rader upp är siffran i första kolumnen lika med 5 (eller $n-12$).
Där är siffran i tredje kolumnen (eller $2^5 \mathrm{mod} 13$) också lika med 6.

Låt oss välja raden där siffran i första kolumnen ($n$) lika med 22. 
Då är siffran i tredje kolumnen ($2^{22} \mathrm{mod} 13$) lika med 10.
Om vi går 12 rader upp är siffran i första kolumnen lika med 10 (eller $n-12$).
Där är siffran i tredje kolumnen (eller $2^{10} \mathrm{mod} 13$) också lika med 10.

Mönstret är alltså om vi är ute efter en siffra i tredje kolumnen i en viss rad
så kan vi titta 12 rader tidigare, för där kommer det stå samma siffra.

Vi är ute efter raden där 3951 står i första kolumnen för där ska
$2^{3951} \mathrm{mod} 13$ stå i tredje kolumnen. Men eftersom vi inte har den raden
kan vi utnyttja mönstret och titta 12 rader tidigare istället.

Mönstret säger ju att den raden kommer ha samma siffra
i tredje kolumnen som den raden vi egentligen är ute efter.
I denna raden borde siffran 3951-12 = 3939 stå i första kolumnen.

Men vi har inte den raden heller.
Så vi försätter att dra bort ytterligare tolv från siffran vi letar
efter (3927, 3915, 3903, ...). Mönstret säger att alla dessa rader
kommer att ha samma siffra i tredje kolumnen.

Förr eller senare kommer vi ner till en siffra som finns i första kolumnen
bland de rader vi faktiskt har räknat ut. Kan du komma på vilken siffra det blir?

Till slut kan vi kolla i tredje kolumnen på raden med den siffran och veta att
enligt mönstret så måste det som står där vara just  $2^{3951} \mathrm{mod} 13$.

Jag nu har försökt vara så tydlig jag kan. Men om det är något som 
är oklart får du gärna beskriva vilket steg du fastnar på. 
Då kan jag lättare hjälpa dig vidare.

jarenfoa skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

jarenfoa skrev:

Titta på excel arket.

Välj en rad i den undre halvan av arket, vilken som helst.

I första kolumnen står en siffra som vi kallar $n$.
I tredje kolumnen står resten när $2^n$ delas med 13.
Är du med så långt?

Om du nu går 12 rader upp i arket så hittar du en rad
där siffran i första kolumnen är 12 lägre
än i den förra raden vi tittade på ($n-12$)
Är du med så långt?

Ser du att siffran i tredje kolumnen i denna raden
är samman som siffran i tredje kolumnen var i den förra raden?

Ja jag ser tredje kolumnen i rad 1. Då n=11 har vi  rest 7 och går upp till n=0 har vi rest 1. Antar det är det du menar ? Jag ser ej heller där du säger "

Ser du att siffran i tredje kolumnen i denna raden
är samman som siffran i tredje kolumnen var i den förra raden?"

Låt mig förklara med några exempel.
Jag bad dig välja en rad i den undre halvan av arket.

Låt oss välja raden där siffran i första kolumnen ($n$) lika med 14. 
Då är siffran i tredje kolumnen ($2^{14} \mathrm{mod} 13$) lika med 4.
Om vi går 12 rader upp är siffran i första kolumnen lika med 2 (eller $n-12$).
Där är siffran i tredje kolumnen (eller $2^2 \mathrm{mod} 13$) också lika med 4.

Låt oss välja raden där siffran i första kolumnen ($n$) lika med 17. 
Då är siffran i tredje kolumnen ($2^{17} \mathrm{mod} 13$) lika med 6.
Om vi går 12 rader upp är siffran i första kolumnen lika med 5 (eller $n-12$).
Där är siffran i tredje kolumnen (eller $2^5 \mathrm{mod} 13$) också lika med 6.

 

Låt oss välja raden där siffran i första kolumnen ($n$) lika med 22. 
Då är siffran i tredje kolumnen ($2^{22} \mathrm{mod} 13$) lika med 10.
Om vi går 12 rader upp är siffran i första kolumnen lika med 10 (eller $n-12$).
Där är siffran i tredje kolumnen (eller $2^{10} \mathrm{mod} 13$) också lika med 10.

 

Mönstret är alltså om vi är ute efter en siffra i tredje kolumnen i en viss rad
så kan vi titta 12 rader tidigare, för där kommer det stå samma siffra.

 

Vi är ute efter raden där 3951 står i första kolumnen för där ska
$2^{3951} \mathrm{mod} 13$ stå i tredje kolumnen. Men eftersom vi inte har den raden
kan vi utnyttja mönstret och titta 12 rader tidigare istället.

Mönstret säger ju att den raden kommer ha samma siffra
i tredje kolumnen som den raden vi egentligen är ute efter.
I denna raden borde siffran 3951-12 = 3939 stå i första kolumnen.

Men vi har inte den raden heller.
Så vi försätter att dra bort ytterligare tolv från siffran vi letar
efter (3927, 3915, 3903, ...). Mönstret säger att alla dessa rader
kommer att ha samma siffra i tredje kolumnen.

Förr eller senare kommer vi ner till en siffra som finns i första kolumnen
bland de rader vi faktiskt har räknat ut. Kan du komma på vilken siffra det blir?

Till slut kan vi kolla i tredje kolumnen på raden med den siffran och veta att
enligt mönstret så måste det som står där vara just  $2^{3951} \mathrm{mod} 13$.

Jag nu har försökt vara så tydlig jag kan. Men om det är något som 
är oklart får du gärna beskriva vilket steg du fastnar på. 
Då kan jag lättare hjälpa dig vidare.

Jag tror daniels sätt är snabbare. Jag tycker vi kör på hans eftersom ditt sätt är långa texter och det är mycket information att ta in här.

Daniels sätt är absolut snabbare om du förstår hur det gick till.
Hade du kunnat använda hans sätt om detta tal hade kommit på ett prov?

jarenfoa skrev:

Daniels sätt är absolut snabbare om du förstår hur det gick till.
Hade du kunnat använda hans sätt om detta tal hade kommit på ett prov?

Om jag förstär allt han gjorde sä hade jag kunnat använda hans metod på prov ja. Det ser effektivt och snabbt ut. Det här talet är redan en tenta fråga på universitet nivå  dvs en gammal tentafråga :)

destiny99 skrev:

jarenfoa skrev:

Daniels sätt är absolut snabbare om du förstår hur det gick till.
Hade du kunnat använda hans sätt om detta tal hade kommit på ett prov?

Om jag förstär allt han gjorde sä hade jag kunnat använda hans metod på prov ja. Det ser effektivt och snabbt ut. Det här talet är redan en tenta fråga på universitet nivå  dvs en gammal tentafråga :)

Skulle du kunna använda Daniels metod för att beräkna resten av $3^{777}$ delat med 11 ? 

jarenfoa skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

jarenfoa skrev:

Daniels sätt är absolut snabbare om du förstår hur det gick till.
Hade du kunnat använda hans sätt om detta tal hade kommit på ett prov?

Om jag förstär allt han gjorde sä hade jag kunnat använda hans metod på prov ja. Det ser effektivt och snabbt ut. Det här talet är redan en tenta fråga på universitet nivå  dvs en gammal tentafråga :)

Skulle du kunna använda Daniels metod för att beräkna resten av $3^{777}$ delat med 11 ? 

Aa för att 3^777=(3^7)¹¹¹

Det är sant, men det har så vitt jag kan se inget med Daniels metod att göra.

jarenfoa skrev:

Det är sant, men det har så vitt jag kan se inget med Daniels metod att göra.

Det ska vara konguent med 11

destiny99 skrev:

jarenfoa skrev:

Det är sant, men det har så vitt jag kan se inget med Daniels metod att göra.

Det ska vara konguent med 11

Nej.

Min fråga skulle kunna formuleras om som:
"Vilket är det lägsta positiva talet som är kongruent med $3^{777}$ modulo 11?"

Ditt påpekande att $3^{777} = {\left(3^7\right)}^{111}$ är sant enligt potensreglerna.
Det är däremot inte ett steg på vägen om man ska använda den sortens
kongruensräkning som Daniel refererade till.

jarenfoa skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

jarenfoa skrev:

Det är sant, men det har så vitt jag kan se inget med Daniels metod att göra.

Det ska vara konguent med 11

Nej.

Min fråga skulle kunna formuleras om som:
"Vilket är det lägsta positiva talet som är kongruent med $3^{777}$ modulo 11?"

Ditt påpekande att $3^{777} = {\left(3^7\right)}^{111}$ är sant enligt potensreglerna.
Det är däremot inte ett steg på vägen om man ska använda den sortens
kongruensräkning som Daniel refererade till.

Ah okej då vet jag. Nej jag får låta Daniel förklara vad han menar med sin konguensräkning. Jag avstår för att försöka mig på detta.