9 svar

132 visningar

binary är nöjd med hjälpen

Avbildningsmatris

"Antag att F är en linjär avbildning och att ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ är en bas i rummet. Antag vidare att

$F (e_{1} + e_{2} + 2 e_{3}) = 2 e_{1} + e_{2} - 3 e_{3} F (e_{2} + e_{3}) = - e_{1} + 3 e_{3} F (e_{2} - e_{3}) = e_{1} + 2 e_{2} + e_{3}$

a)Ange F:s avbildningsmatris A i basen ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ ."

Jag förstår hur jag ska bilda en matris om det var så att vänsterledet inte fanns, men nu förstår jag inte hur det är meningen att kombinera dessa.
Om man tar första raden $[2, 1, - 3]$ så har jag tänkt att man kanske ska gå efter vad som står i F, men kommer inte fram till det som står i facit än hur jag vänder och vrider på det.

Avbildningen är linjär.

Det betyder att

F(x + y) = F(x) + F(y)

för alla vektorer x och y i vektrorrummet, samt att

F(a*x) = a*F(x)

för alla skalärer a och alla vektorer x.

Se hur du kan kombinera de två senare av dina givna relationer för att få fram

F(e2)

och

F(e3).

Jag är nog inte helt med på hur jag ska göra.

Om jag lägger ihop F(e2) och F(e3) får jag; -e1+3e3+e1+2e2+e3= 2e2+4e3

Är du med på att

F(e2 + e3) + F(e2 - e3) = F(e2 + e3 + e2 - e3)

Förenkla

F(e2 + e3 + e2 - e3) = F(2*e2) = 2*F(e2)

Anledningen till att jag använder dessa uttryck för att komma fram till F(e2) är att

F(e2+ e3)

och

F(e2 - e3)

är givna i uppgiften.

Jag är helt med på F(e2 + e3 + e2 - e3) = F(2*e2) = 2*F(e2).

Men sen när jag ska få fram F(e2) hänger jag inte längre med.
Jag tänker att $F (2 e 2 + e 3) = (2) (- e 1) + 3 e 3$

Enligt uppgift är

F(e2 + e3) + F(e2 - e3) = -e1 + 3e3 + e1 + 2e2 + e3 = 2e2 + 4e3

Du hade också att p.g.a linjäritet att

F(e2 + e3) + F(e2 - e3) = 2*F(e2)

så

2*F(e2) = 2e2 + 4e3

dela med 2

F(e2) = e2 + 2e3

Hur blir då F(e3)?

Nu börjar det klarna lite.

Om jag nu ska få fram F(e3) tar jag;
F(e2+e3)-F(e2-e3)=2*F(e3)
2*F(e3)=-2e1-2e2+2e3
e3=-e1-e2+e3

Eftersom jag nu har F2 och F3 bör jag kunna få ut F1
F(e1+e2+2e3)=2e1+e2-3e3 -> e1+e2+2e3+ 2(-e1-e2+e3)=2e1+e2-3e3 = 3e1+2e2-7e3
Dock så ska det vara 4e1+2e2-7e3 enligt facit.

Tänker jag rätt bara att det blivit något slarv?

F(e3) = -e1 - e2 + e3

F(e1) kan fås som

F(e1) = F(e1 + e2 +2*e3) - F(e2) - 2*F(e3)

Du får ursäkta att jag är lite seg på att förstå det här.
Jag får fram detta;

$F (e 2) = e 2 + 2 e 3 F (e 3) = - e 1 - e 2 + e 3 F (e 1) = F (e 1) + F (e 2) + 2 F (e 3) - F (e 2) - 2 F (e 3) - > F (e 1) + e 2 + 2 e 3 + 2 (- e 1 - e 2 + e 3) - e 2 + 2 e 3 - 2 (- e 1 - e 2 + e 3) - > F (e 1) + 0 + 0$

F(e1) = F(e1 + e2 +2*e3) - F(e2) - 2*F(e3)

p.g.a linjäritet.

F(e1 + e2 +2*e3) = 2*e1 + e2 - 3*e3 (givet)

F(e2) = e2 + 2*e3 (uträknat)

F(e3) = -e1 - e2 + e3 (uträknat)

så

F(e1) = 2*e1 + e2 - 3*e3 - (e2 + 2*e3) - 2*(-e1 - e2 + e3)

förenkla

F(e1) = 4*e1 + 2*e2 - 7*e3

om jag inte har räknat fel någonstans.

Svara Avbryt

Visa senaste svar