Avbildningsmatris

När det gäller att hitta en avbildningsmatris vill vi veta vad som händer med enhetsvektorerna under transformationen. Börja med vad e₁ och e₂ faktiskt motsvarar! $2e_1+e_2=2·(1,0)+(0,1)=(2,1)$. F kommer alltså att transformera vektorn (2,1) till (2,-1). Hur är det med e₁-e₂? 

Därefter, det gäller att $F(a+b)=F\left(a\right)+F\left(b\right)$, eftersom avbildningen är linjär. Kan du använda det för att försöka ta dig till F(1,0) respektive F(0,1)?

Ett alternativ till smutstvätts metod:

Vi vet att

A$\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$ och att A$\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$, som vi kan skriva som en enda matrisekvation

A$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$, vilket ger

A = $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$ ${\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right]}^{-1}$ = -$\frac{1}{3}$$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$.

Detta är en reflektion i x-axeln.

Jag utvecklar Smutstvätt:s tankegång (F är en linjär avbildning, med tillhörande räkneregler).

(1)+(2) ger  $3F(\mathbf{e}_1)=3\mathbf{e}_1$, varav

$F(\mathbf{e}_1)=\mathbf{e}_1$  och $F(\mathbf{e}_2)=-\mathbf{e}_2$.

Avbildningsmatrisen

$\mathsf{A}=\begin{bmatrix}F(\mathbf{e}_1) & F(\mathbf{e}_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& -1\end{bmatrix}$. Geometrisk tolkning:

Matrisen A är en speglingsmatris, spegling i horisontella xeln.