Avgör huruvida det finns en hel funktion med viss realdel

Hej!

Jag sitter med uppgiften nedan från en gammal tentamen i komplex analys:

Mitt resonemang är följande. Låt $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ nedan vara hel ("entire"):

$f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$

Enligt Cauchy-Riemmans ekvationer vet vi att för en holomorf funktion gäller för alla $z=x+iy$:

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Enligt något antagande som jag inte kan motivera är derivatorna deriverbara, så vi kan skriva

$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 v}{\partial y\partial x }$

Enligt ytterligare antagande jag inte kan motivera, borde vi kunna ändra deriveringsordning i HL i den andra ekvationen, så att vi får

$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$

Detta innebär alltså

$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\nabla^2 u=0$

Vi kan visa att realdelen som vi har fått uppfyller denna ekvation. Således kan det finnas en hel funktion med den realdel vi har fått. Men räcker detta för att visa att det finns en sådan funktion? Det vi kan göra är ju att bara integrera en av Cauchy-Riemanns ekvationer och sedan komma fram till en funktion. Men vi måste ju också på något sätt avgöra huruvida denna faktiskt är hel. Det var där jag tänkte att detta resonemang med Laplacianen kanske kunde fungera som motivering.

Hjälp uppskattas!