Avgör huruvida det finns en hel funktion med viss realdel

Grymt bra jobbat med beviset! Din logik är helt fläckfri. Här är de exakta motiveringarna du behöver för att fylla i dina två luckor så att det blir 100 % matematiskt komplett:

1. Motivering till att derivatorna är deriverbara: Eftersom funktionen $f$ antas vara hel (analytisk i hela det komplexa talplanet (eller bokstaven $\mathrm{ℂ}$).  , så säger en central sats inom komplex analys att funktionen automatiskt är oändligt deriverbar. Det garanterar att de partiella derivatorna existerar och är kontinuerliga.
2. Motivering till att ändra deriveringsordning: Detta är helt tillåtet enligt Clairauts sats (även kallad Schwarz sats). Den säger att man alltid får byta ordning på partiella derivator så länge de blandade andraderivatorna är kontinuerliga – vilket de är här eftersom funktionen är hel. 

Ditt bevis för att  (Laplacen = 0) är därmed helt i mål!.

Eftersom u är harmonisk på ett enkelt sammanhängande område (hela det komplexa talplanet) är existensen av en hel funktion garanterad. Ett snabbt sätt att ange funktionen är att identifiera att realdelen av $z^4$blir exakt ditt uttryck, så f(z) = $z^4$ är en sådan hel funktion.

Hej cechak, det är bra om du försöker tänka lite själv och inte bara använda AI.

Fokusera på den här meningen 

"Eftersom u är harmonisk på ett enkelt sammanhängande område (hela det komplexa talplanet) är existensen av en hel funktion garanterad. "

Varifrån kommer kravet på enkelt sammanhängande område? Vad säger satsen AI hänvisar till? Satsen är i själva verket omvändningen (i delvis mening) till satsen "Om en funktion är holomorf i något område så är real- och imagnärdelarna harmoniska i området", vilket var vad naytte visade.

Hej Daniel,

Jag använder inte AI och jag har aldrig gjort! AI existerade under min tid som studenten. Det var papper och penna! Det är allmänt känt att AI ofta räknar fel på högre matematik. Jag är själv utbildad civilingenjör inom datateknik i Sverige och har läst mer än tillräckligt med matematik för att kunna svara på studentens problem, då jag själv läste komplex analys en gång i tiden.

Jag påstår inte att jag har absolut rätt, men jag vet vad jag pratar om. Men eftersom du uppenbarligen också har goda kunskaper i ämnet, föreslår jag att vi samarbetar i stället – två hjärnor är bättre än en. Låt oss fokusera på att hjälpa studenten i stället för att komma med ogrundade påståenden. Vad tycker du om det?

För att svara på dina specifika funderingar kring teorin:

Kravet på att området måste vara enkelt sammanhängande (vilket hela det komplexa talplanet C är) är ett topologiskt krav för att garantera att det harmoniska konjugatet v blir globalt väldefinierat och entydigt. Enkelt uttryckt betyder det att området inte har några hål. Om området hade haft ett hål – som för den harmoniska funktionen u = ln(x² + y²) på talplanet utan origo – så hade integrationen runt hålet skapat en multivärd funktion, och då existerar inget globalt harmoniskt konjugat.

Satsen som åsyftas är existenssatsen för harmoniska konjugat. Och du har helt rätt i att detta är omvändningen till den sats som studenten visade. Studenten visade den ena riktningen: om en funktion är holomorf så är real och imaginärdelarna harmoniska. Existenssatsen ger oss omvändningen: om funktionen u är harmonisk OCH området är enkelt sammanhängande, så existerar det garanterat en holomorf funktion.

Hej till er båda och tack för svar!

Vad heter satsen som visar omvändningen till det jag visade?

Hej igen!

Satsen som visar denna omvändning kallas oftast för Satsen om existens av harmoniskt konjugat (engelska: Existence of Harmonic Conjugates Theorem).

I vissa böcker introduceras den helt enkelt som en direkt följd eller korollarium till Cauchys integralsats för enkelt sammanhängande områden

Det är just kopplingen mellan att funktionen är harmonisk och att området saknar hål som gör att Cauchys integralsats kan garantera att det harmoniska konjugatet existerar!

Beroende på vilken kurslitteratur du använder brukar den hittas här:

• Brown & Churchill (Complex Variables and Applications): Den presenteras oftast i kapitlet om analytiska funktioner under avsnittet Harmonic Functions, som en direkt följd av att området är enkelt sammanhängande.
• Saff & Snider (Fundamentals of Complex Analysis): Här formuleras den vanligtvis som en teorem/sats i samband med att man kopplar ihop harmoniska funktioner med Cauchys integralsats.

Kort sagt: Det är kombinationen av att funktionen är harmonisk och att området saknar hål som gör att Cauchys integralsats kan garantera att ditt harmoniska konjugat existerar!

Men är en harmonisk funktion automatiskt hel? Det är ju denna omvändning jag vill visa, att

$\nabla^2 u = 0 \Longrightarrow f\text{ är hel}$

Hej Naytte,

Det är en jättebra och mycket viktig fråga! Här behöver vi skilja på två saker: vad en reell funktion är och vad en komplex funktion är.

1. En harmonisk funktion kan inte vara hel i sig själv. En harmonisk funktion $u(x,y)$ är en reellvärd funktion (den ger bara ut reella tal). Begreppet hel (holomorf i hela talplanet) gäller bara för komplexa funktioner $f\left(z\right)$. Så u i sig själv kan aldrig bli hel. Det vi vill visa är att u kan användas som byggsten (realdel) för att skapa en hel funktion $f = u + iv$.

2. Omvändningen kräver topologin (inga hål)Din implikation $V^{2}u=0\Rightarrow f=u+iv$stämmer inte automatiskt överallt. Det krävs att området där u är harmonisk saknar hål (är enkelt sammanhängande).

Om vi tar det klassiska motexemplet igen: Funktionen $u(x,y)=ln\sqrt{x^2+y^2}$ är harmonisk överallt utom i origo $(V^{2}u=0)$. Men om vi försöker skapa funktionen $f = u + iv$ runt origo, så tvingas det harmoniska konjugatet att bli vinkelargumentet $v = arg\left(z\right)$. Eftersom vinkeln hoppar med $2\mathrm{\pi }$ när man går ett varv runt origo, blir $v$ och därmed $f$ inte kontinuerlig eller deriverbar. Det går alltså inte att skapa en hel/holomorf funktion av detta $u$ på det punkterade planet.

Slutsats: Satsen om existens av harmoniskt konjugat säger att: Om $V^{2}u=0$ OCH området är enkelt sammanhängande $\Rightarrow$ då existerar det garanterat ett  $v$ så att $f = u + iv$är hel (holomorf).

Av symmetriskäl antar jag att samma sak gäller om vi studerade imaginärdelen istället för realdelen?

Det stämmer precis! Din intuition är helt korrekt. Det råder en perfekt symmetri mellan realdelen och imaginärdelen.

Om du istället startar med en harmonisk funktion $v$ (som du vill ha som imaginärdel), så säger exakt samma sats att det existerar en harmonisk funktion $u$ (realdel) på det enkelt sammanhängande området så att $f = u + iv$blir hel.

Den enda lilla detaljen som skiljer dem åt är ett tecken i Cauchy-Riemanns ekvationer:

• Om du har $u$ och söker $v$, använder du: $v_y=u_x$ och $v_x=-u_y$
• Om du har $v$ och söker $u$, använder du:  and $u_y=-v_x$

Detta innebär att om $v$ är ett harmoniskt konjugat till $u$, så är $u$ inte ett harmoniskt konjugat till $v$. Istället är $-u$det harmoniska konjugatet till $v$. Men existensprincipen och kravet på det enkelt sammanhängande området är exakt detsamma!

Jag tycker du ska slå upp satsen i din kursbok naytte (sök under harmoniska funktioner). Men om den verkligen inte finns med i kursen gäller alltså ungefär såhär:

Givet en harmonisk funktion $\phi(x,y)$ i ett enkelt sammanhängande område $D$, finns det en holomorf funktion som har $\phi(x,y)$ som realdel. Det finns också en holomorf funktion som har $\phi(x,y)$ som imaginärdel.

I uppgiften borde det räcka med att hänvisa till satsen, nämna villkoren och visa att uttrycket är harmoniskt. Avsluta sedan med att ta fram en konkret exempelfunktion. Om du vill bevisa satsen kan du använda differentialformer eller någon av integralsatserna ni lärt er. Ledtråd till bevis i spoiler, men försök själv först!

Visa spoiler

Tack till er båda för hjälpen! Jag ska försöka lösa uppgiften korrekt och återkomma. Jag ska även titta på att försöka bevisa satsen.

Hej Naytte

Jag ser att Daniel precis skrev ett jättebra svar som sammanfattar detta perfekt!

Det är precis som han säger: oavsett om du startar med realdelen eller imaginärdelen så garanterar satsen att den holomorfa funktionen existerar.

Rådet du fick av Daniel om att strukturera din lösning genom att:

1. Visa att funktionen är harmonisk (∇²φ = 0).
2. Nämna att området är enkelt sammanhängande.
3. Ta fram den konkreta funktionen (förslagsvis med Cauchy-Riemanns ekvationer.

är precis den väg du bör gå för att få full poäng på en sådan här uppgift. Stor lycka till med resten av räknandet, och fråga gärna igen om du fastnar på bevisledtråden i spoilern!

Härligt att höra att du ska försöka lösa uppgiften korrekt och återkomma och även titta på att försöka bevisa satsen. Ta den tid du behöver för att räkna på uppgiften och klura på beviset. Det är genom att försöka själv som man verkligen lär sig de här djupa bitarna av komplex analys.Vi finns här i tråden, så det är bara att skriva så fort du vill stämma av din lösning eller om du kör fast på beviset. Du kämpade bra hela dagen tack för idag och Stort lycka till! 

Okej, här kommer ett försök till en lösning på uppgiften.

Låt $u:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definieras enligt $u\left(x,y\right)=x^4-6x^2y^2+y^4$. Vi konstaterar att $u$ är harmonisk, ty

$\displaystyle \nabla^2 u\left(x,y\right)=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=12x^2-12y^2+\left(-12x^2+12y^2\right)=0$

Eftersom $\mathbb{R}^2$ är enkelt sammanhängande (varje sluten kurva är homotop med en konstant kurva, alltså inga "hål") existerar det en holomorf funktion som har $u\left(x,y\right)$ som realdel. Vi kan bestämma en sådan funktion genom att integrera Cauchy-Riemanns ekvationer. Vi integrerar med avseende på $y$:

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\Longrightarrow v\left(x,y\right)=\int \frac{\partial u}{\partial x}dy=4x^3y-4xy^3+\varphi\left(x\right)$

För att entydigt bestämma familjen av funktioner som uppfyller ekvationerna använder vi den andra Cauchy-Riemann-ekvationen:

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \Longrightarrow\varphi^\prime\left(x\right)=0\Longrightarrow \varphi\left(x\right)=\text{konst.}$

En funktion $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ som har $u\left(x,y\right)$ som realdel är då:

$\displaystyle f\left(z\right)=x^4-6x^2y^2+y^4+i\left(4x^3y-4xy^3\right)$

Fråga:

• Hur visar vi att just det $f$ vi plockade fram är en hel funktion? Det vi har visat (genom att hänvisa till satsen som nämndes ovan) är att om $u$ är harmonisk på ett enkelt sammanhängande område, då finns det en hel funktion som har $u$ som realdel. Men hur visar man att $f$ är en av dessa hela funktioner? Är det helt enkelt "trivialt" att funktionen är hel (på samma sätt som det är trivialt att $y=x^2$ är deriverbar på hela $\mathbb{R}$)?

En hel funktion är definitionsmässigt en funktion som är holomorf (analytisk) i hela z-planet.

Det finns en sats som säger att om två funktioner är holomorfa i något område så är summan, differensen och produkten av funktionerna också holomorf i samma område. Kvoten av funktionerna är också holomorf förutom där nämnaren är noll (såklart!). En holomorf funktion av en holomorf funktion är holomorf.

Har du en funktion av potenser $z$ eller andra elementära funktioner som du redan känner till är det alltså lätt att se om en funktion är analytisk. Din funktion är $f(z)=z^4$ och det är ju några produkter av $z$ och därmed trivialt holomorf. I det allmänna fallet undersöker man om man skapa ett område runt varje punkt $z_0$ och visa att $f'(z)$ existerar, inte bara i $z_0$ utan i området runtomkring.  Men i just det här fallet vet du ju redan att $u$ och $v$ uppfyller CR, du har ju konstruerat dem så. Så även om du inte skulle känna igen att det handlar om $f(z)=z^4$ vet du alltså att funktionen är holomorf i hela området (hela z-planet).

OBS: Att en funktion består av “trevliga” elementära funktioner i $x$ och $y$ räcker inte för att den ska vara holomorf. De ska vara "trevliga" i $z$. Funktionen $(y+1)^2+i(x+1)^2$ ser "trevlig" ut i $x$ och $y$ men är INTE analytisk i något område, någonsin. 

Ah, visst finns det väl en sats som säger att en funktion är holomorf på ett område om och endast om Cauchy-Riemanns ekvationer gäller på det området? Så i vårt fall blir funktionen vi plockar fram automatiskt holomorf eftersom vi erhöll den genom att integrera CR?

cechak skrev:

Hej Naytte

Jag ser att Daniel precis skrev ett jättebra svar som sammanfattar detta perfekt!

Det är precis som han säger: oavsett om du startar med realdelen eller imaginärdelen så garanterar satsen att den holomorfa funktionen existerar.

Rådet du fick av Daniel om att strukturera din lösning genom att:

1. Visa att funktionen är harmonisk (∇²φ = 0).
2. Nämna att området är enkelt sammanhängande.
3. Ta fram den konkreta funktionen (förslagsvis med Cauchy-Riemanns ekvationer.

är precis den väg du bör gå för att få full poäng på en sådan här uppgift. Stor lycka till med resten av räknandet, och fråga gärna igen om du fastnar på bevisledtråden i spoilern!

---

Jag är bara nyfiken då dina svar låter otroligt AI, om du nu inte använder AI för att lösa problemen, använder du den för att renskriva dina svar? Inget illa menat alls!

Hej!

Min svärfar är professor på Chalmers och har forskat inom Mechanical Engineering.. Vi har lärt oss otroligt mycket matematik av honom. Både min man och jag är Civilingenjörer inom teknik. Så nej, vi använder inte AI! Vi tillhör den äldre generationen, födda på 70- och 80-talet. På vår tid fanns varken AI, mobiltelefoner eller saker som började på ”i”. Miniräknare fanns knappt, det var räknesticka i trä! så matematikkunskaperna sitter djupt i ryggmärgen. Det var ett annat Sverige då! När det gäller själva svenskan så använder jag Word för att skriva rent."

bumpar för inlägg #15 och #17

Satsen jag tror du tänker på säger ungefär följande: 

Om $u$ och $v$ _och_ de partiella derivatorna $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial v}{\partial x}$, $\frac{\partial u}{\partial y}$ och $\frac{\partial v}{\partial y}$ är kontinuerliga i ett område runt $z_0$ så är CR ett nödvändigt och tillräckligt villkor för existensen av derivatan i punkten $z_0$, dvs  $f^\prime(z_0)$

Notera att vi bara pratar om en enskild punkt $z_0$!

Om dessutom $u,v\in C^1(D)$ och CR gäller för alla $z\in D$, existerar derivatan $f^\prime(z)$ för varje $z\in D$. Då är f holomorf i $D$. Det är samma sak som att säga att $f^\prime(z)$ existerar inte bara i $z_0$ utan i varje punkt i ett (litet) område kring $z_0$, för varje punkt i området.

I din konstruktion är CR automatiskt uppfylld och $u$ och $v$ består av "trevliga" elementära funktioner som har kontinuerliga derivator, din definitionsmängd $D$ är hela talplanet så funktionen är inte bara holomorf, den är också "entire" eller hel.

Men var alltså noga med att skilja på vad som gäller för ett helt område och vad som gäller punktvis. Det är samma principer som vi stötte på i flervariabeln. 

Edit: Det jag försöker säga är alltså att $u,v\in C^1(D)$ + CR-ekvationerna uppfyllda i hela D är ett "nödvändigt" och tillräckligt villkor för att $f=u+iv$ ska vara holomorf i $D$, inte bara att CR gäller punktvis (om än i hela området).

Okej, då är jag med.

Tack för hjälpen!