17 svar
126 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB 1683
Postad: 7 nov 2018 Redigerad: 7 nov 2018

Avgör om det finns konvergerande integraler vars gränsvärden inte är lika med noll.

God novemberafton!

Här är ett litet problem gällande generaliserade integraler.

För att en integral på formen

0fx dx\displaystyle \int_0^{\infty}f\left(x\right)\ dx

skall konvergera känns det intuitivt att

limxfx=0\lim_{x\to\infty} f\left(x\right)=0

Stämmer detta påstående? Det vill säga, finns det integraler på ovanstående form som konvergerar trots att deras gränsvärden inte är lika med noll?

Albiki 2752
Postad: 7 nov 2018 Redigerad: 7 nov 2018

Det du hävdar är alltså att om limxf(x)=0\lim_{x\to \infty}f(x) = 0 så är

    0f(x)dx<>\int_{0}^{\infty}f(x)dx <> ?

Om du gör det så är svaret Nej!

AlvinB 1683
Postad: 7 nov 2018

Jag antar att det ska stå

0fx dx<\displaystyle \int_0^{\infty}f\left(x\right)\ dx<>

I sådant fall stämmer det, men jag är mer intresserad av hur du kommer fram till det. Har du ett resonemang eller ett motexempel att presentera?

Laguna 1299
Postad: 7 nov 2018

f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.

Albiki 2752
Postad: 7 nov 2018

Ja, det ska stå 0f(x)dx<.\int_{0}^{\infty}f(x)dx<>

Funktionen f(x)=x-1 ,  x>0f(x) = x^{-1}\ , \quad x>0 är ett (av oändligt många) motexempel.

AlvinB 1683
Postad: 7 nov 2018 Redigerad: 7 nov 2018
Albiki skrev:

Ja, det ska stå 0f(x)dx<>\int_{0}^{\infty}f(x)dx<>

Funktionen f(x)=x-1 ,  x>0f(x) = x^{-1}\ , \quad x>0 är ett (av oändligt många) motexempel.

 Jo, fast

limxx-1=limx1x=0\lim_{x\to\infty} x^{-1}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0

Jag var specifikt ute efter om det finns funktioner med gränsvärden mot oändligheten som inte blir noll men vars integraler från noll till oändligheten ändå konvergerar.

AlvinB 1683
Postad: 7 nov 2018
Laguna skrev:

f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.

 Intressant!

Det stämmer inte att ff bara kan anta värdena -1-1 och 11, men däremot detta med ständigt minskande intervall låter mer lovande. Vad får dig att säga att det måste vara så? Lyckas du ta fram någon exempelfunktion?

Albiki 2752
Postad: 7 nov 2018

Jaha, men då fungerar inte mitt motexempel.

Du är alltså intresserad av Lebesgueintegrabla funktioner f:(0,)f : (0,\infty)\to \mathbb{R} som är sådana att Lebesgueintegralen är ändlig 0f(x)dx<\int_{0}^{\infty}f(x)dx<> samtidigt som gränsvärdet limxf(x)\lim_{x\to\infty}f(x) existerar och är inte lika med noll? Eller är det Riemannintegerbara funktioner som du söker?

AlvinB 1683
Postad: 7 nov 2018
Albiki skrev:

Jaha, men då fungerar inte mitt motexempel.

Du är alltså intresserad av Lebesgueintegrabla funktioner f:(0,)f : (0,\infty)\to \mathbb{R} som är sådana att Lebesgueintegralen är ändlig 0f(x)dx<>\int_{0}^{\infty}f(x)dx<> samtidigt som gränsvärdet limxf(x)\lim_{x\to\infty}f(x) existerar och är inte lika med noll? Eller är det Riemannintegerbara funktioner som du söker?

 Jag kanske uttryckt mig lite missvisande; jag kräver inte att gränsvärdet skall existera, jag kräver bara att ifall det existerar är det inte lika med noll.

Jag tänkte mig först och främst Riemannintegrerbara funktioner, men visar du att det finns funktioner som är Lebesgueintegrerbar godtar jag dem också.

Albiki 2752
Postad: 7 nov 2018 Redigerad: 7 nov 2018

Okej, så du frågar efter en Riemannintegrerbar funktion f:(0,)f : (0,\infty) \to \mathbb{R} som är sådan att Riemannintegralen 0f(x)dx\int_{0}^{\infty}f(x)dx är ändlig och gränsvärdet limxf(x)\lim_{x\to\infty}f(x) behöver inte existera.

Jag kan ge ett motexempel där funktionen är Lebesgueintegrerbar.

f(x)=1f(x) = 1 då det positiva talet xx är rationellt och f(x)=0f(x) = 0 då det positiva talet xx är irrationellt. Lebesgueintegralen 0f(x)dx\int_{0}^{\infty}f(x)dx är lika med noll och gränsvärdet limxf(x)\lim_{x\to\infty}f(x) existerar inte.

AlvinB 1683
Postad: 7 nov 2018

Bra poäng med indikatorfunktionen över de rationella talen. Ja, då finns det uppenbarligen Lebesgueintegrerbara funktioner med de eftersökta egenskaperna. Men hur blir det med Riemannintegrerbara funktioner?

Laguna 1299
Postad: 7 nov 2018 Redigerad: 7 nov 2018
AlvinB skrev:
Laguna skrev:

f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.

 Intressant!

Det stämmer inte att ff bara kan anta värdena -1-1 och 11, men däremot detta med ständigt minskande intervall låter mer lovande. Vad får dig att säga att det måste vara så? Lyckas du ta fram någon exempelfunktion?

 

Låt floor(t) vara det största heltal som inte är större än t. Låt n vara floor(x). Låt f(x) vara 1 om floor((x-n)·2^n) är udda, annars -1.

AlvinB 1683
Postad: 7 nov 2018
Laguna skrev:
AlvinB skrev:
Laguna skrev:

f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.

 Intressant!

Det stämmer inte att ff bara kan anta värdena -1-1 och 11, men däremot detta med ständigt minskande intervall låter mer lovande. Vad får dig att säga att det måste vara så? Lyckas du ta fram någon exempelfunktion?

 

Låt floor(t) vara det största heltal som inte är större än t. Låt n vara floor(x). Låt f(x) vara 1 om floor((x-n)·2^n) är udda, annars -1.

 Har inte undersökt saken särskilt nära, men är du säker på att denna funktion är Riemannintegrerbar? Vad blir i så fall integralen?

Laguna 1299
Postad: 7 nov 2018
AlvinB skrev:
Laguna skrev:
AlvinB skrev:
Laguna skrev:

f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.

 Intressant!

Det stämmer inte att ff bara kan anta värdena -1-1 och 11, men däremot detta med ständigt minskande intervall låter mer lovande. Vad får dig att säga att det måste vara så? Lyckas du ta fram någon exempelfunktion?

 

Låt floor(t) vara det största heltal som inte är större än t. Låt n vara floor(x). Låt f(x) vara 1 om floor((x-n)·2^n) är udda, annars -1.

 Har inte undersökt saken särskilt nära, men är du säker på att denna funktion är Riemannintegrerbar? Vad blir i så fall integralen?

Jag är inte så hemma på olika typer av integrabilitet, så jag vet inte.

Albiki 2752
Postad: 7 nov 2018
AlvinB skrev:

Bra poäng med indikatorfunktionen över de rationella talen. Ja, då finns det uppenbarligen Lebesgueintegrerbara funktioner med de eftersökta egenskaperna. Men hur blir det med Riemannintegrerbara funktioner?

 Ja du, vad betyder det egentligen att en funktion är Riemannintegrerbar? (Jag är inte intresserad av att få se en copy-paste av definitionen av Riemannintegrerbarhet.)

AlvinB 1683
Postad: 8 nov 2018
Albiki skrev:
AlvinB skrev:

Bra poäng med indikatorfunktionen över de rationella talen. Ja, då finns det uppenbarligen Lebesgueintegrerbara funktioner med de eftersökta egenskaperna. Men hur blir det med Riemannintegrerbara funktioner?

 Ja du, vad betyder det egentligen att en funktion är Riemannintegrerbar? (Jag är inte intresserad av att få se en copy-paste av definitionen av Riemannintegrerbarhet.)

Så vitt jag vet är en funktion Riemannintegrerbar om den är begränsad på integrationsintervallet och om mängden diskontinuiteter har Lebesguemåttet noll.

Jag är nog inte tillräckligt bevandrad i måtteorins värld för att besvara exakt vad det betyder att något har Lebesguemåttet noll. Jag vet att alla uppräkneliga mängder har Lebesguemåttet noll eftersom de kan beskrivas som uppräkneliga unioner av enpunktsmängder, men det finns ju icke-uppräkneliga mängder som ändå har Lebesguemåttet noll.

Jag kan säga så här: Det finns till och med kontinuerliga funktioner som uppfyller kraven, vilket är varför jag inte var jättenoga med att spalta upp några krav om integrerbarhet.

Laguna 1299
Postad: 8 nov 2018

Man kan göra om min funktion till en kontinuerlig genom att ha sin(2*pi*(x-n)*2^n) i stället.

AlvinB 1683
Postad: 8 nov 2018 Redigerad: 8 nov 2018
Laguna skrev:

Man kan göra om min funktion till en kontinuerlig genom att ha sin(2*pi*(x-n)*2^n) i stället.

 Jag har tänkt till litegrann och jag är ganska säker på att din ursprungliga funktion:

(x\lfloor x\rfloor betecknar floor-funktionen)

är Riemannintegrerbar. Detta eftersom diskontinuiteterna är uppräkneliga {1+2-1,1+2·2-1,2+2-2,2+2·2-2,2+3·2-2,2+4·2-2,3+2-3,...}\{1+2^{-1},1+2\cdot2^{-1},2+2^{-2},2+2\cdot2^{-2},2+3\cdot2^{-2},2+4\cdot2^{-2},3+2^{-3},...\}. Albiki får rätta mig om jag har fel.

Din nya funktion är mer vad jag hade i åtanke från början. Det är nämligen så att ganska många funktioner på formen sin(f(x))\sin(f(x)) har denna egenskap (jag tror men har inte lyckats bevisa att det gäller alla f(x)f(x) med växande derivata). Ett av de enklare exemplen är:

0sinx2 dx\displaystyle \int_0^{\infty}\sin\left(x^2\right)\ dx

vilken man med lite komplex analys kan visa har värdet:

0sinx2 dx=π8\displaystyle \int_0^{\infty}\sin\left(x^2\right)\ dx=\sqrt{\frac{\pi}{8}}

Svara Avbryt
Close