b-a

Se denna tråd

https://www.pluggakuten.se/trad/matematik-4-nationellt-prov-2022-uppgift-27/

Det sägs något Om symmetri linjen men jag förstår fortfarande inte 

Rent generellt är detta en extremvärdesuppgift i två variabler a och b. Den hade legat utanför gymnasiet om inte integranden motsvarat en parabel med dess symmetriegenskaper kända från ma2. Det kan du repetera. C är som störst när det inte finns några negativa bidrag. Det infaller när a och b motsvarar andragradsfknens nollställen, vilket ger lösning på första delfrågan.

För den andra delfrågan räcker det att betrakta den vänstra delen av kurvan. (Pga symmetrin). För att få C=0 måste ma ta med så mycket till vänster om första nollstället, att de positiva och de negativa bidragen tar ut varandra.

Tomten skrev:

Rent generellt är detta en extremvärdesuppgift i två variabler a och b. Den hade legat utanför gymnasiet om inte integranden motsvarat en parabel med dess symmetriegenskaper kända från ma2. Det kan du repetera. C är som störst när det inte finns några negativa bidrag. Det infaller när a och b motsvarar andragradsfknens nollställen, vilket ger lösning på första delfrågan.

För den andra delfrågan räcker det att betrakta den vänstra delen av kurvan. (Pga symmetrin). För att få C=0 måste ma ta med så mycket till vänster om första nollstället, att de positiva och de negativa bidragen tar ut varandra.

Det är en bra ledtråd ovan.

Jag är lite konfunderad över motiveringen till att intervallet måste vara symmetriskt. Det är självklart så, men bör det inte motiveras? Jag såg ingen sådan indikation i rättningsmallen - kanske har de bara givit upp på den nivån.

(Problemet kan återföras som optimering (max/min) i en variabel, men räkningarna är inte speciellt roliga. IMO är uppgiften inte så lämplig för manuell beräkning. För digitala hjälpmedel är den trivial. Se min lösning i en annan tråd. Svårt att veta vad de ansåg vara rätt väg 2022.)

Jag är lite konfunderad över motiveringen till att intervallet måste vara symmetriskt. Det är självklart så, men bör det inte motiveras? Jag såg ingen sådan indikation i rättningsmallen - kanske har de bara givit upp på den nivån.

Det du påpekar här är precis anledningen till att den här frågan är jättedålig. Den har dykt upp många gånger men facit har ingen motivering.

Jag tror man kan visa direkt att intervallet ska vara centrerat kring symmetrilinjen.

Efter lämpligt variabelbyte (typ $u=x-7/2$) kan vi översätta problemet till att visa att för en funktion

$f(u) = -u^2 + k$

och ett intervall $[c-d,c+d]$, $d>0$ med någon fix längd $L=2d$ (alla intervall kan skrivas på denna form) gäller att

$I(c) := \int_{c-d}^{c+d} f(u)\, du$

har ett maximum vid $c=0$.

Vi har att $I'(c) = f(c+d)-f(c-d) = -4cd$ efter lite algebra, och noterar att $I'(c)$ är positiv om $c<0$, lika med noll om $c=0$, och negativ om $c>0$. Eller tar andraderivatan. Alltså har $I$ ett maximum vid $c=0$.

Det går förstås att visa men problemet med uppgiften är att facit inte kräver någon motivering och inget av elevexemplen förutom ett som har fått A-poäng har heller någon motivering.

naytte skrev:

Det går förstås att visa men problemet med uppgiften är att facit inte kräver någon motivering och inget av elevexemplen förutom ett som har fått A-poäng har heller någon motivering.

Jag håller förstås med om det, min poäng var bara att det är fullt möjligt att motivera valet av intervall med gymnasiematematik och utan någon vidare optimering.

Gustor skrev:

Jag tror man kan visa direkt att intervallet ska vara centrerat kring symmetrilinjen.

Efter lämpligt variabelbyte (typ $u=x-7/2$) kan vi översätta problemet till att visa att för en funktion

$f(u) = -u^2 + k$

och ett intervall $[c-d,c+d]$, $d>0$ med någon fix längd $L=2d$ (alla intervall kan skrivas på denna form) gäller att

$I(c) := \int_{c-d}^{c+d} f(u)\, du$

har ett maximum vid $c=0$.

Vi har att $I'(c) = f(c+d)-f(c-d) = -4cd$ efter lite algebra, och noterar att $I'(c)$ är positiv om $c<0$, lika med noll om $c=0$, och negativ om $c>0$. Eller tar andraderivatan. Alltså har $I$ ett maximum vid $c=0$.

Alla symmetriska intervall, men det gäller att visa att det optimala intervallet är symmetriskt, inte att utgå från det.

Hmm, jag menar att alla intervall $[a,b]$ kan skrivas på formen $[c-d,c+d]$ för $c=\frac{a+b}{2}$ och $2d = b-a$, och att mitt resonemang visar att $I(c)$ är som störst om intervallets mittpunkt $c$ ligger precis på symmetrilinjen.

Jo, men "intervallkonstruktionen" är symmetrisk runt c. Det är inte givet.

Det är "naturligt" att anta att det är symmetriskt, ty om man gör det osymmetriskt blir det negativa bidraget överdrivet negativt (vilket är dåligt) i förhållande till intervallets bredd, varför det är bäst att fördela "negativiteten" lika på båda sidor för att maximera bredden. Vi vill ta så stora steg i horisontell riktning med det minsta möjliga (negativa) bidraget från integralen. Här måste funktionens utseende spela in, eftersom detta inte gäller för alla funktioner. Men allt detta är en "imaginär hypotes". Vi behöver ett strikt bevis.

Trinity2 skrev:

Jo, men "intervallkonstruktionen" är symmetrisk runt c. Det är inte givet.

Jag tror inte jag förstår riktigt. Alla intervall har väl en mittpunkt?