Förstår inte beviset till derivatan av en produkt

Hej!

Mha derivatans definition.

Härleds tex här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/ovningsexempel/harled-produktregeln

Undrar du om ett bevis, eller bara bakgrunden? Det är väl egentligen lite samma sak. Man började jobba med derivator, kom fram till olika regler och satser, varav att man även ville veta vad derivatan av en produkt är. Därifrån försökte man väl hitta ett bevis. 

Hej!

Lär dig beviset av produktregeln från engelskspråkiga Wikipedia.

Hej

$$\begin{gathered} \left(fg\right)\text{'}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)+f(x+h)g\left(x\right)-f(x+h)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}= \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)\left(g\right(x+h)-g(x\left)\right)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left(x\right)\left(f\right(x+h)-f(x\left)\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }f(x+h)·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }g\left(x\right)·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}= \\ f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)+g\left(x\right)·f\text{'}\left(x\right) \\ \mathrm{V}.\mathrm{S}.\mathrm{B} \end{gathered}$$

Blev det tydligare nu?

jonis10 skrev:

Hej

$$\begin{gathered} \left(fg\right)\text{'}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)+f(x+h)g\left(x\right)-f(x+h)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}= \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)\left(g\right(x+h)-g(x\left)\right)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left(x\right)\left(f\right(x+h)-f(x\left)\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }f(x+h)·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }g\left(x\right)·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}= \\ f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)+g\left(x\right)·f\text{'}\left(x\right) \\ \mathrm{V}.\mathrm{S}.\mathrm{B} \end{gathered}$$

Blev det tydligare nu?

 Hur gjorde du för att komma fram till steget precis efter man har skrivit in f(x) och g(x) i derivatans definition. I det steget finns det två f(x+h)g(x). 

Jag lägger endast till en positiv f(x+h)g(x) term och en negativ -f(x+h)g(x) term.

Eftersom f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x)=0 så kommer det inte att påverka det ursprungliga uttrycket.

Säg att du har 1/5= (1+1-1)/5=(2-1)/5=1/5. Som du ser lägger jag endast till +1 men då måste jag dra bort -1 för att det fortfarande ska stämma.

Om funktionerna $f$ och $g$ är strikt positiva så kan man studera derivatan av logaritmen $\log (fg)$ för att få derivatan till $fg$. Derivatan för en produkt blir då en konsekvens av Kedjeregeln och Derivatan för en summa.

    $\displaystyle \log(fg) = \log f + \log g$

och Kedjeregeln ger

    $\displaystyle \frac{d}{dx}\log (fg) = \frac{(fg)^'}{fg}.$

Derivatan för en summa ger

    $$\displaystyle\frac{d}{dx}\log (fg) =  \frac{d}{dx}\log f  + \frac{d}{dx}\log g = \frac{f^'}{f} + \frac{g^'}{g}.$$

Multiplikation med $fg$ ger det önskade resultatet.

    $\displaystyle(fg) \cdot \frac{(fg)^'}{fg} = fg \cdot \frac{f^'}{f} + fg \cdot \frac{g^'}{g} \quad\Leftrightarrow\quad (fg)^' = f^'g + g^'f.$

Tror tyvärr inte att man lär sig implicit derivering i matte 4.

Moffen skrev:

Tror tyvärr inte att man lär sig implicit derivering i matte 4.

 Men man lär sig Kedjeregeln i matte 4.

Albiki skrev:

Moffen skrev:

Tror tyvärr inte att man lär sig implicit derivering i matte 4.

 Men man lär sig Kedjeregeln i matte 4.

 Helt rätt, vet inte vad jag tänkte med.