7 svar
109 visningar
suad 427
Postad: 12 okt 2020

Bas för vektorrummet

hej, jag undrar på om min lösning är rätt och hur vi beräknar e^X och e^S.

Kilian 15
Postad: 20 okt 2020

Hej!

När du ska beräkna matrisexponenterna får du tänka på taylorutvecklingen av exponentialfunktionen. Vad händer om du sätter in matriserna i den?

Vänligen,
Kilian

oneplusone2 444
Postad: 21 okt 2020

Vad använder ni för bok i den kursen?

Qetsiyah 4738 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 21 okt 2020 Redigerad: 21 okt 2020

Dina matriser är fel. Tänk nogrannare på vad som händer när du deriverar polynim.

Med matrisen du har för T nu skulle tex a+bx+cx^2 bli y=b+2c, och S(a+bx+cx^2)=(b+2c)x

suad 427
Postad: 29 okt 2020

hej, värför är mina matriser inte rätta

När du deriverar x^2 blir det 2x, vilket i vektorform kan skrivas (0,2,0). Detta är då den sista kolumnen i T, så din tvåa där ska hoppa ned ett steg. På samma sätt blir det för S, tvåan bör hoppa ned (eftersom x*d/dx(x^2) = x*2x=x^2 = (0,0,2))

Albiki 5005
Postad: 29 okt 2020 Redigerad: 29 okt 2020

Hej,

Basen är B={e0,e1,e2}\mathcal{B}=\{e_0,e_1,e_2\} där e0(x)=1e_0(x)=1 och e1(x)=xe_1(x)=x samt e2(x)=x2.e_2(x) = x^2. Då blir

    Te0=0·e0+0e1+0e2Te_0 = 0\cdot e_0+0e_1 +0e_2 och Te1=1e0+0e1+0e2Te_1 = 1e_0+0e_1+0e_2 samt Te2=0e0+2e1+0e2Te_2 = 0e_0+2e_1+0e_2

så att matrisrepresentationen av TT i denna bas är

    [T]B=X=000100020.\displaystyle [T]_\mathcal{B}=X = \begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}.

Denna matris är sådan att X3=0X^3 = 0 (nollmatrisen) vilket ger matrisexponentialen

    eX=E+X+0.5X2=111211231e^{X} = E + X + 0.5X^2 = \begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\2&3&1\end{pmatrix}

vars determinant är deteX=2.\det e^{X} = 2.

Om man istället använder basen \mathcal{F} så kommer matrisrepresentationen av TT att vara en matris Y=[T]Y=[T]_\mathcal{F} som är similär med matrisen XX, vilket i sin tur medför att matriserna eXe^{X} och eYe^{Y} kommer att vara similära. Deras egenvärden är därför desamma vilket medför att deras determinanter är samma, eftersom determinant är produkt av egenvärden.

Kilian 15
Postad: 6 nov 2020
Albiki skrev:

Hej,

Basen är B={e0,e1,e2}\mathcal{B}=\{e_0,e_1,e_2\} där e0(x)=1e_0(x)=1 och e1(x)=xe_1(x)=x samt e2(x)=x2.e_2(x) = x^2. Då blir

    Te0=0·e0+0e1+0e2Te_0 = 0\cdot e_0+0e_1 +0e_2 och Te1=1e0+0e1+0e2Te_1 = 1e_0+0e_1+0e_2 samt Te2=0e0+2e1+0e2Te_2 = 0e_0+2e_1+0e_2

så att matrisrepresentationen av TT i denna bas är

    [T]B=X=000100020.\displaystyle [T]_\mathcal{B}=X = \begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}.

Denna matris är sådan att X3=0X^3 = 0 (nollmatrisen) vilket ger matrisexponentialen

    eX=E+X+0.5X2=111211231e^{X} = E + X + 0.5X^2 = \begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\2&3&1\end{pmatrix}

vars determinant är deteX=2.\det e^{X} = 2.

Om man istället använder basen \mathcal{F} så kommer matrisrepresentationen av TT att vara en matris Y=[T]Y=[T]_\mathcal{F} som är similär med matrisen XX, vilket i sin tur medför att matriserna eXe^{X} och eYe^{Y} kommer att vara similära. Deras egenvärden är därför desamma vilket medför att deras determinanter är samma, eftersom determinant är produkt av egenvärden.

Borde inte din matrisrepresentation av T vara transponerad? Alltså vektorerna du får ut genom att multiplicera vektorerna i B med t borde vara kolumnerna i matrisen.

Svara Avbryt
Close