Basbyte

ilovechocolate skrev:

En linjär avbildning T: $R^2 \to R^2$ har i basen {(1,-1), (2,1)} matrisen $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]$.

Avbildningens matris i "vanliga" basen med enhetsvektorer blir då en matris som du kan beräkna ur två matriser.

Hur menar du?

Vad är avbildningens matris i basen  {(1,0) (0,1)} ? , borde jag kanske ha skrivit.

Är det $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ ?

Med u=(1, -1) och v=(2,1) blir

(1,0) = (u+v)/3

(0,1) = (-2u+v)/3

så du kan avbilda (u+v)/3 med matrisen och få en bild av (1, 0)

Jag börjar känna mig lite rostig på linjär algebra och hoppas att någon annan kan ta över här.

Oj, nu hänger jag inte riktigt med. :/ Varför dividerar du med 3? 

Det finns ett samband mellan matriserna relativt olika baser. Om vi kallar den första basen A och den andra basen B så gäller det att

${\left[T\right]}_B=P_{A\to B}{\left[T\right]}_A{P}_{B\to A}$.

Där $P_{A\to B}$ och $P_{B\to A}$ är basbytesmatriserna. Dvs

Den i:te kolumnen i $P_{A\to B}$ utgörs av koordinaterna för den i:te basvektorn i basen A relativt basen B.

Den i:te kolumnen i $P_{B\to A}$ utgörs av koordinaterna för den i:te basvektorn i basen B relativ basen A.

Notera att $P_{A\to B}$ = ($P_{B\to A}$)^-1.

Så matrisen $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]={\left[\begin{array}{c}T\end{array}\right]}_A$ och $P_{A\to B}$=$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$, samt $P_{B\to A}={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]}^{-1}$?

${\left[T\right]}_A$ är rätt. Om vi låter E beteckna standardbasen, så gäller det att

$P_{A\to B}$ = $P_{E\to B}{P}_{A\to E}$ = ${\left(P_{B\to E}\right)}^{-1}$$P_{A\to E}$, där

$P_{A\to E}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right]$
$P_{B\to E}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$.

Så då blir det $P_{A\to B}=P_{A\to E}\times P_{B\to E}\times {\left[T\right]}_A$?

${\left[T\right]}_B$ = $P_{E\to B}$$P_{A\to E}$${\left[T\right]}_A$$P_{E\to A}$$P_{B\to E}$

$P_{E\to A}$ = ($P_{A\to E}$)^-1 = $\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 1\end{array}\right]$.

$P_{E\to B}$ = ($P_{B\to E}$)^-1 = $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$.