4 svar
31 visningar
solaris 216
Postad: 1 jun 2019

Beräkna area av ytan mha dubbelintegral

Hej. Jag har en uppgift där jag ska beräkna

Jag tänkte att ytan är den sneda cirkeln som skapas då ytan skär cylindern. Därför försökte jag hitta gränserna för radien. 

Men i facit så räknar dom såhär:

tomast80 Online 2363
Postad: 1 jun 2019

Ja, de procjicerar den sneda ytan på enhetscirkeln (cylinderns bottenarea). Är nog det smidigaste sättet att lösa denna uppgift. Läs mer här:

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1626/YTINTEGRALER.pdf

AlvinB 3075
Postad: 1 jun 2019

Jag förstår inte. Varför skulle radien variera från 11 till 33? Områdets projektion i xyxy-planet är ju cirkeln x2+y21x^2+y^2\leq1. I detta område varierar radien mellan 00 och 11. Då får du samma svar som facit.

solaris 216
Postad: 1 jun 2019

jaha så formeln D1+(f'x)2+(f'y)2

så är D projectionen på xy planet då två plan skär sig? Gäller det här endast för beräkning av då jag ska beräkna area av funktionsyta?

AlvinB 3075
Postad: 1 jun 2019

Du börjar ju med ytintegralen:

D1 dS=\displaystyle\iint_D1\ dS=

där DD är den tredimensionella ytan vi söker arean på. För att kunna integrera lättare vill vi då integrera i xyxy-planet. Genom att utnyttja att dS=1+(z'x)2+(z'y)2 dxdydS=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}\ dxdy kan vi istället integrera över projektionen av området i xyxy-planet:

=D(x,y)1+22+22 dxdy=x2+y213 dxdy=...\displaystyle=\iint_{D_{(x,y)}}\sqrt{1+2^2+2^2}\ dxdy=\iint_{x^2+y^2\leq1}3\ dxdy=...

Notera att dS=1+(z'x)2+(z'y)2 dxdydS=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}\ dxdy egentligen är en specialfall då ytan är given på explicit form (z=z(x,y)z=z(x,y)) av en mer generell formel, nämligen:

dS=|r(s,t)s×r(s,t)t| dxdydS=|\dfrac{\partial\mathbf{r}(s,t)}{\partial s}\times\dfrac{\partial\mathbf{r}(s,t)}{\partial t}|\ dxdy

(En intuition för varför detta gäller är att absolutbeloppet av kryssprodukten ger arean av parallellogrammen som vektorerna spänner upp. Absolutbeloppet av kryssprodukten mellan derivatorna ger då arean på ett litet parallellogram som approximerar ytan. När vi sedan integrerar blir parallellogrammen mindre och mindre, och approximationen går mot det exakta värdet. Vi multiplicerar alltså funktionens värde [i detta fall 11] med arean av ett litet parallellogram på ytan och integrerar.)

Om vi har en yta på explicit form är en enkel parametrisering r(x,y)=(x,y,z(x,y))\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y)). Derivatornas kryssprodukt blir då:

r(x,y)x×r(x,y)y=1,0,z'xx,y×0,1,z'yx,y=-z'x,-z'y,1\dfrac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}\times\dfrac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}=\left(1,0,z'_x\left(x,y\right)\right)\times\left(0,1,z'_y\left(x,y\right)\right)=\left(-z'_x,-z'_y,1\right)

Absolutbeloppet av detta ger sedan det välbekanta uttrycket från tidigare:

-z'x,-z'y,1=1+(z'x)2+(z'y)2\left|\left(-z'_x,-z'_y,1\right)\right|=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}

Svara Avbryt
Close