Beräkna area under graf

ConnyN skrev:

Problemet låter så här:

Visa att arean av området mellan kurvan $y=x^n$ ($n$ positivt heltal), $x$-axeln och linjen $x=1$ är lika med $\frac{1}{n+1}$ areaenheter

Det jag fick problem med var att jag tolkade att undre gränsen var 1 och övre gränsen $x$, men de menade att undre gränsen var 0 och övre gränsen 1.
För att det ska gälla borde de väl nämnt att y-axeln också var en gräns?

Själva integralen var inte problemet för mig, den var lätt bara jag förstått gränserna.
Borde jag förstått gränserna från de uppgifter jag fick?

Ja om du hade ritat en figur så hade du sett att de inte behövde ange att y-axeln var en gräns.

Alla grafer av typen $y=x^n$ går genom origo.

Om du ritar ut grafen till t.ex $y=x^2$ och linjen $x=1$ så ser du att området är entydigt bestämt av informationen i uppgiften.

Nja nu är jag inte beredd att hålla med dig. Givetvis ritade jag flera grafer på min grafräknare och såg det du såg, men tittar man på de tre första graferna $y=x^1, y=x^2, och y=x^3$ så kan man mycket väl tolka att $x=1$ är den undre gränsen eller?

ConnyN skrev:

Nja nu är jag inte beredd att hålla med dig. Givetvis ritade jag flera grafer på min grafräknare och såg det du såg, men tittar man på de tre första graferna $y=x^1, y=x^2, och y=x^3$ så kan man mycket väl tolka att $x=1$ är den undre gränsen eller?

 Hej

Nej det kan du inte eftersom den går igenom origo oavsett värde på $n$ vilket automatiskt ger dig den undre gränsen $x=0$. Där den ska täcka ett område med x-axeln och $x=1$ då måste $x=1$ vara den övre gränsen.

Tänkt också på uppgiften i sig, hur skulle du en kunna hitta någon övre gräns med den informationen?

Ja du har rätt jonis. Tog just en promenad och fick smälta det hela en stund och då började det ljusna.

Det är så lätt att fastna i sina egna tankar och vilja hålla fast vid dom och för att inte tala om alla slags slarvfel man lyckas göra. Allt som man har så svårt att förstå att andra gör.

Hoppas jag inte sårade dig Yngve. Det var inte min mening. Jag blir bara så ivrig när jag inbillar mig att jag har rätt, men det finns ju botemedel mot det med. En promenad kan göra susen :-)

Tack så mycket för hjälpen bägge två.

Om du vill ha en extra uppgift så dra linjen $y=1$ också då uppstår det två stycken areor (innanför en geometrisk figur). Din uppgift är att beräkna förhållandet mellan dom två areorna.

Edit: Tack Yngve för påminnelsen, området bergrännas också av y-axeln. (Tog det för givet när jag skrev det).

OK. Det låter intressant. Något att titta på i morgon bitti.

Tack!

ConnyN skrev:

...

Hoppas jag inte sårade dig Yngve. Det var inte min mening. Jag blir bara så ivrig när jag inbillar mig att jag har rätt, men det finns ju botemedel mot det med. En promenad kan göra susen :-)

...

Absolut ingen fara Conny. Det krävs betydligt mer än så för att såra mig.

jonis10 skrev:

Om du vill ha en extra uppgift så dra linjen $y=1$ också då uppstår det två stycken areor (innanför en geometrisk figur). Din uppgift är att beräkna förhållandet mellan dom två areorna.

Edit: Tack Yngve för påminnelsen, området bergrännas också av y-axeln. (Tog det för givet när jag skrev det).

Det blev intressant. Jag ritade in $y=1$ och även $y=x^{10000}$ samt lite kurvor däremellan. Då blev det tydligt att övre gränsen $x=1$ automatiskt ger gränsen $y=1$.

Vi kan då som du skriver dela in området i två areor. Den som vi redan tagit fram kallar vi $A_1=\frac{1}{n+1}$ 

Hela ytan är $1\times 1$ areaenheter och $A_2=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

$\frac{A_2}{A1}=\frac{n}{n+1}\times \frac{n+1}{1}=n$

Vilket var en överraskning. Tack för den uppmuntran till fortsättning och hoppas att jag tänkt rätt nu?

Jonis10 skrev:

Om du vill ha en extra uppgift så dra linjen y = 1 också då uppstår det två stycken areor (innanför en geometrisk figur). Din uppgift är att beräkna förhållandet mellan dom två areorna.

Jonis föreslog alltså att du skulle rita upp linjerna $y=x$och $y=x^n$ i samma koordinatsystem och beräkna kvoten mellan arean-mellan-snedstrecket-och-$x^n$-kurvan och arean-mellan-$x^n$-kurvan-och-x-axeln. Det du har räknat ut är också intressant, men något helt annat.

EDIT: Det var jag som läste fel, jag skulle kunnat svära på att man skulle dra linjen y = x men så står det ju inte, trots att jag har kopierat. Tack Yngve!

ConnyN skrev:

jonis10 skrev:

Om du vill ha en extra uppgift så dra linjen $y=1$ också då uppstår det två stycken areor (innanför en geometrisk figur). Din uppgift är att beräkna förhållandet mellan dom två areorna.

Edit: Tack Yngve för påminnelsen, området bergrännas också av y-axeln. (Tog det för givet när jag skrev det).

Det blev intressant. Jag ritade in $y=1$ och även $y=x^{10000}$ samt lite kurvor däremellan. Då blev det tydligt att övre gränsen $x=1$ automatiskt ger gränsen $y=1$.

Vi kan då som du skriver dela in området i två areor. Den som vi redan tagit fram kallar vi $A_1=\frac{1}{n+1}$ 

Hela ytan är $1\times 1$ areaenheter och $A_2=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

$\frac{A_2}{A1}=\frac{n}{n+1}\times \frac{n+1}{1}=n$

Vilket var en överraskning. Tack för den uppmuntran till fortsättning och hoppas att jag tänkt rätt nu?

 Snyggt!

Tack igen Jonis!

Ingen fara Smaragdalena. Tur att andra också är mänskliga.

Närmar mig slutet på matte 3c nu. Det tar tid, men vad roligt det är att verkligen förstå. 
Det är verkligen uppmuntrande och lärorikt att ha pluggakuten också.

Tack än en gång