Beräkna arean under grafen

Utvärdera integralen och se om resultatet är rimligt.

jag har utvärderat min integral och tycker att det inte ser rimligt ut. Det är orimligt att få en negativ area 

Jag får ett negativt värde på arean. Varför blir det fel? Vad är felet jag gör?

Du beräknar en integral på där alla värden ligger under x-axeln, då måste det blir ett negativt värde.

En area är alltid positiv så arean är beloppet av det du fått fram.

Mer generellt: Du beräknar arean mellan den övre funktionen y1=0 (= x-axeln) och en undre funktionen y=x^2-3.
Arean blir integralen över funktionen y1-y2 dvs över 0-(x^2-3) = -x^2+3

jag ska räkna med integrationsgränserna x=-1 till x=1? Men jag förstår inte? menar du att även om jag får en negativ area så ska arean vara positiv?

$-{\int }_{-1}^1 x^2-3 dx$

Lös noga och sakta det jag skrev. En integral kan ha ett negativt värde. En area kan inte vara negativ. Du har inte fått en negativ area. Du har fått ett negativt värde på en integral.

Integrationsgränserna är -1 och 1, de är ju givna.

Vad gör jag för fel?

Sista termen blir -1/3, allt blir då 5 och 1/3

Men vart är felet? Kan du markera mitt fel i uträkningen?

-(3*(-1)-(-1)^3/3) = -(-3 - (-1)/3) = -(-3 + 1/3) = +3 - 1/3

Felet va alltså i hur jag förenklade parentesen? Annars är uträkningen väl rätt?

Ja. Som du ser är det samma som du gjorde i #3 fast nu med korrekt tecken eftersom du räknade med både en övre funktion y=0 och en undre y=x^2-3

men jag får ett negativt värde när jag förenklar parentesen. jag får arean till att bli -5.3 ae vilket är ju negativt.. Varför får jag en negativ area?

I #9 blir det inte negativt.

I #3 blir det negativt, jag förklarade varför i #4

En integrals värde är inte samma sak som en area.
Om t ex funktion y=-5 integreras i intervallet x=0 till x=10 blir integralens värde -50.
Arean mellan x-axeln och funktionen är 50. Man kan få fram det genom att integrera övre funktionen minus undre funktionen. Övre funktionen är y=0 och under är y=-5 --> 0-(-5)=5. Integrerar du y=5 från 0 till 10 blir det 50.

Du får alltid ett positivt värde som du integrerar en övre funktion minus en undre funktion.

Nu räknade jag om och jag fick arean 5.3 ae .. Men vad betyder det ifall jag får ett negativt värde på arean? 

Du får aldrig ett negativt värde på en area. Du kan få ett negativt värde på en integral men en integrals värde behöver inte representera en area. Se förklaringen i #5 och exemplet i #16. Exemplet i #16 kan du räkna ut snabbt för att se skillnaden.

Men om jag exempelvis räknar ut ”arean under en graf” med hjälp integraler och får ett negativt svar. Hur ska jag tolka det? Är det isåfall något fel på uträkningen eller kan man få ett negativt värde när man räknar ut integralen 

Du får inte ett negativt svar på arean. Du blandar ihop integralen av en funktion i ett intervall (som kan vara negativ) med arean mellan funktionen och någon annan funktion, t ex funktionen y=0 (x-axeln).

Övningsuppgift:
a) Beräkna integralens värde för f(x)=-x^2 i intervallet x=0 till x=2.
Värdet av integralen blir ca -2,67.

b) Beräkna arean mellan x-axeln (funktionen y=0), funktionen f(x)-x^2, och de två linjerna x=0 och x=2.
En area beräknas som integralen av den övre funktionen minus den undre funktionen.
Övre funktion - undre funktion = 0 - (-x^2) = x^2.
Integrerar man det i intervallet 0 till 2 får man ca 2,67. Det är arean.

Jag förstår inte varför du i a uppgiften fick svaret -2.67 medans i b fick 2.67… Vad är skillnaden i beräkningen mellan a &b uppgiften som gjorde att du fick ett svar som är positivt medan ett annat svar som är negativt?

I a-uppgiften: $\int_{0}^{2}-x^2\operatorname dx$.

I b-uppgiften: $\int_{0}^{2}(0-(-x^2))\operatorname dx$.

Detta eftersom i b-uppgiften är den övre funktionen $y=0$ och den undre funktionen $y=-x^2$.

Vilken av funktionerna är den "övre funktionen" och vilken är den "undre funktionen"? Varför ska man i b ta integralen av den övrefunktionen minus den nedrefunktionen men inte göra samma sak i a uppgiften?

a-uppgiften gäller bara att beräkna värdet av en integral. Den handlar inte om att beräkna någon area. Då behöver du inte bekymra dig om övre eller undre funktion.

b-uppgiften gäller att beräkna en area. Då måste du ta hänsyn till övre och undre funktion.

Området som ska areaberäknas i b-uppgiften begränsas av x-axeln (funktionen g(x) = 0), funktionen f(x) = -x², linjerna x = 0 och x = 2.

Eftersom g(x) $\geq$ f(x) i hela intervallet så är g(x) övre funktion och f(x) undre funktion i hela intervallet.

Arean är då lika med integralen från x = 0 till x = 2 av (g(x) - f(x)).

kan du ge exempel som förtydligar vad skillnaden är mellan att "beräkna värdet av en integral" och "beräkna en area"

Uppgift: "Beräkna värdet av integralen $f(x)=\sin(x)$ mellan $x=0$ och $x=2\pi$."

Uträkning: $\int_{0}^{2\pi} f(x)\operatorname dx=$

$=\int_{0}^{2\pi}\sin(x)\operatorname dx=$

$=-\cos(2\pi)-(-\cos(0))=-1+1=0$

===========

Uppgift: "Beräkna arean av området som begränsas av grafen till $f(x)=\sin(x)$ och $x$-axeln mellan $x=0$ och $x=2\pi$."

Uträkning: Eftersom grafen till $f(x)$ befinner sig både ovanför och under x-axeln i intervallet så delar vi upp området i två delar:

Mellan $x=0$ och $x=\pi$ så är $f(x)=\sin(x)$ övre funktion och $g(x)=0$ undre funktion. Denna area är $\int_{0}^{\pi} (f(x)-g(x))\operatorname dx=$

=$\int_{0}^{\pi} \sin(x)\operatorname dx=$

$=-\cos(\pi)-(-\cos(0))=1+1=2$

Mellan $x=\pi$ och $x=2\pi$ är $f(x)=\sin(x)$ undre funktion och $g(x)=0$ övre funktion. Denna area är $\int_{\pi}^{2\pi} (g(x)-f(x))\operatorname dx=$

$=\int_{\pi}^{2\pi} (0-\sin(x))\operatorname dx=$

$=\cos(2\pi)-\cos(\pi)=1-(-1)=2$

Den totala arean är 2+2 = 4 a.e.

Jag hängde inte med på de stegen som du markerade. Kan du förklara det stegvist istället?

Yngve skrev:

Uppgift: "Beräkna värdet av integralen $f(x)=\sin(x)$ mellan $x=0$ och $x=2\pi$."

Uträkning: $\int_{0}^{2\pi} f(x)\operatorname dx=$

$=\int_{0}^{2\pi}\sin(x)\operatorname dx=$

$=-\cos(2\pi)-(-\cos(0))=-1+1=0$

===========

Uppgift: "Beräkna arean av området som begränsas av grafen till $f(x)=\sin(x)$ och $x$-axeln mellan $x=0$ och $x=2\pi$."

Uträkning: Eftersom grafen till $f(x)$ befinner sig både ovanför och under x-axeln i intervallet så delar vi upp området i två delar:

Mellan $x=0$ och $x=\pi$ så är $f(x)=\sin(x)$ övre funktion och $g(x)=0$ undre funktion. Denna area är $\int_{0}^{\pi} (f(x)-g(x))\operatorname dx=$

=$\int_{0}^{\pi} \sin(x)\operatorname dx=$

$=-\cos(\pi)-(-\cos(0))=1+1=2$

Mellan $x=\pi$ och $x=2\pi$ är $f(x)=\sin(x)$ undre funktion och $g(x)=0$ övre funktion. Denna area är $\int_{\pi}^{2\pi} (g(x)-f(x))\operatorname dx=$

$=\int_{\pi}^{2\pi} (0-\sin(x))\operatorname dx=$

$=\cos(2\pi)-\cos(\pi)=1-(-1)=2$

Den totala arean är 2+2 = 4 a.e.

Varför måste man räkna ut arean separat för när x=0 till x=pi och när x=Pi till x=2pi? Varför räcker det inte med en enda integral från 0 till 2pi?

Katarina149 skrev:

Varför måste man räkna ut arean separat för när x=0 till x=pi och när x=Pi till x=2pi? Varför räcker det inte med en enda integral från 0 till 2pi?

Det var det jag belyste med exemplet. Värdet av denna enda integral från 0 till 2pi är lika med 0. Men arean är ju inte lika med 0 (se bild längre ner).

Integralens värde är samma sak som områdets area endast i de delar av intervallet där grafen ligger ovanför x-axeln.

Eftersom grafen i vårt fall ligger både under och ovanför x-axeln så måste vi dela upp intervallet i flera delar.

Vilka av följande påståenden behöver du få bättre förklaring av?

1. Grafen y = sin(x) ligger ovanför x-axeln i intervallet 0 < x < pi.
2. I detta intervall är y = sin(x) den övre funktionen och y = 0 den undre funktionen.
3. Arean A₁ kan beräknas som integralen av (den övre funktionen minus den undre funktionen) från x = 0 till x = pi.
4. I detta intervall blir integranden sin(x) - 0, vilket är lika med sin(x).
5. Grafen y = sin(x) ligger under x-axeln i intervallet pi < x < 2pi.
6. I detta intervall är y = sin(x) den undre funktionen och y = 0 den övre funktionen.
7. Arean A₂ kan beräknas som integralen av (den övre funktionen minus den undre funktionen) från x = pi till x = 2pi.
8. I detta intervall blir integranden 0 - sin(x), vilket är lika med -sin(x).
9. Den totala arean är A₁+A₂.
10. Denna area är inte lika med 0.

Menar du att när man beräknar arean så tar man hänsyn till både den ”övrefunktionen” och undre funktionen”? Dvs man räknar ut integralen av den övrefunktionen minus integralen av den undre funktionen? Medan när man enbart vill räkna ut ”integralens värde” så tar man enbart hänsyn till den övrefunktionen och man räknar inte med den undre funktionen 

Vad menar du med det här 

”Det var det jag belyste med exemplet. Värdet av denna enda integral från 0 till 2pi är lika med 0. Men arean är ju inte lika med 0 (se bild längre ner).”

Arean $A_1$ är lika stor som arean $A_2$. Så totala arean som begränsas av funktionen sin(x) och x-axeln är $2*A_1$ eller $2*A_2$. Däremot är integralen noll. För att den ena delen av integralen är positiv och den andra är negativ, samt båda har samma belopp.

Katarina149 skrev:

Menar du att när man beräknar arean så tar man hänsyn till både den ”övrefunktionen” och undre funktionen”? Dvs man räknar ut integralen av den övrefunktionen minus integralen av den undre funktionen? Medan när man enbart vill räkna ut ”integralens värde” så tar man enbart hänsyn till den övrefunktionen och man räknar inte med den undre funktionen 

Ja, att arean beräknas på det sättet förklarade vi för dig i svaren #5, #16 och #20.

När du endast ska beräkna en integrals värde så finns det ingen "övre" och "undre" funktion.

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

Menar du att när man beräknar arean så tar man hänsyn till både den ”övrefunktionen” och undre funktionen”? Dvs man räknar ut integralen av den övrefunktionen minus integralen av den undre funktionen? Medan när man enbart vill räkna ut ”integralens värde” så tar man enbart hänsyn till den övrefunktionen och man räknar inte med den undre funktionen 

Ja, att arean beräknas på det sättet förklarade vi för dig i svaren #5, #16 och #20.

När du endast ska beräkna en integrals värde så finns det ingen "övre" och "undre" funktion.

När man enbart ska beräkna en integrals värde ska man då alltid räkna med att den undre funktionen är y=0?

Som ett svar på din fråga, oavsett om du ska räkna ut arean eller integralen, hur påverkas integranden om du har y=0 som undrefunktion?

Katarina149 skrev:

När man enbart ska beräkna en integrals värde ska man då alltid räkna med att den undre funktionen är y=0?

Du ska inte blanda in övre och undre funktioner när du bara ska beräkna en integrals värde.

Okej. Nu tror jag börjar förstå 

Bra.

Läs gärna även här.