Beräkna R (Matematik/Matte 3)

Hur beräknas arean på en rektangel? (uttryckt i x och y)

x*y

Ska jag räkna med att arean för rektangeln är

x^2 *x=x^3?

A(x)=x^3 + 32/3

A’(x)=3x^2

Sätt det nedre högra hörnet i rektangeln till (x,y)
Rektangel R har då längden av basen: 2x och längden av höjden: $4 - y = 4 - x^{2}$

Då kan du bilda R(x) = $2 x \cdot (4 - x^{2})$

Ha koll på def.mängden, dvs tillåtna x-värden

Jag förstår inte hur du fick rektangelns area till att bli

2x*(4-x^2)?

X är ju halva bredden, dvs bredden =2x

y-koordinaten för nedre högra hörnet är y, dvs sträckan från hörnet ner till x-axeln är y.
Sträckan från övre högra hörnet ner till x-axeln är=4.
Då blir höjden differensen mellan dessa sträckor, dvs (4-y) vilket ger $4 - x^{2}$

Kan du förklara med bilder för jag förstår inte hur du tänker

Jag försöker att använda GeoGebra - inte så bra på det ännu.

I bilden ovan är den sökta höjden sträckan BC, dvs märkt h.

Hela sträckan CG = 4 (se y-koordinat)
Och sträckan BG = y

Vilket ger h=CG-BG, dvs h=4-y

Okej nu blev det lite tydligare

höjden ska vara (4-y) . Hur gör jag sen?

Henning skrev:
X är ju halva bredden, dvs bredden =2x

y-koordinaten för nedre högra hörnet är y, dvs sträckan från hörnet ner till x-axeln är y.
Sträckan från övre högra hörnet ner till x-axeln är=4.
Då blir höjden differensen mellan dessa sträckor, dvs (4-y) vilket ger $4 - x^{2}$

Då bildar du $R (x) = 2 x \cdot (4 - x^{2})$

Ta sedan fram extremvärden via derivatan på vanligt sätt och kontrollera max eller min med 2a-derivatan.
Kom ihåg: $0 \leq x \leq 2$

Vart kom 2X ifrån?

x är sträckan från origo till nedre högra hörnet på rektangeln. Men det är bara halva bredden.
Då måste hela bredden, sträckan AB i min figur, vara det dubbla, dvs 2x

Förlåt mig men det känns inte riktigt att jag förstår. Kan du istället förklara stegvist , 1,2,3..osv

Hur lång är sträckan från y-axeln till punkten B i min figur? Uttryckt i x eller y?

Från punkt g i y axeln till punkt B så är avståndet ”y”

Nej, avståndet är x.

Om du betraktar denna figur så ser du att B har koordinaterna (1,2;1,5)
Dvs x-koordinaten är samma värde som sträckan från y-axeln till punkten B (horisontellt)

Jaha aa från g till B är avståndet x

Okej. Hur långt är då avståndet från A till B?

Från A till b är det 2x

Katarina149 skrev:
Vart kom 2X ifrån?

Då förstår du kanske varifrån 2x kommer i uttrycket för arean

Men hur får du (4-x^2)?

I min figur från GeoGebra är sträckan från C till x-axeln, dvs CG=4 eftersom linjen genom C är y=4

Och sträckan från B till x-axeln, BG, är lika med y (y-koordinaten för punkten B).

Rektangelns höjd, dvs BC, blir då CG-BG vilket är (4-y)
Om du sätter in funktionsuttrycket i stället för y får du (4-x^2)

Jag förstår inte till 100% hur du menar. Kan du förklara på ett annat sätt?

Jag försöker lite till innan jag måste gå iväg. Om vi kan bolla fram och tillbaks lite snabbt kanske det blir enklare.

Om du tittar på figuren i uppgiften och betraktar y-axeln som delar rektangeln mitt itu.
Hur lång är sträckan från linjen y=4 ner till origo?

Du ser nog att den sträckan =4.

Ursprungsfiguren visar också att sträckan 4 består av rektangelns höjd, h, och delen under rektangeln ner till origo. Vi kan kalla den för a.

Då får vi a + h =4, dvs h=4-a

I figuren är a cirka 1,5 , men nu ska ju rektangelns hörn glida utmed kurvan för att finna max-värde för rektangelns area.
Så i stället för ett fast värde på a sätter vi variabla värdet y (y-koordinaten för punkten (x,y) som kan glida utmed grafen).

Då kan vi skriva h=4-y
Och y är 2-a gradsfunktionens funktionsvärde, som skrivs y=x^2

Slutligen då: $h = (4 - x^{2})$