Beror summafunktionen på U_1 och U-U_1 eller på U_1 och U?

Hej!

Jag är lite konfys angående något mycket enkelt som jag inte lyckas råda bot på själv (kan vara kaloribrist). I termodynamiken är entropin för ett system additiv över delsystem. Låt oss säga att vi har två system som är termodynamiskt kopplade. Då har vi:

$\displaystyle S_{\text{tot}}=S_1(U_1)+S_2(U_2)$

där $U_1$ och $U_2$ satisfierar $U_1+U_2 = U =\; \text{konstant}$ .

Nu är mitt problem att jag inte lyckas reda ut vilket beroende som $S_{\text{tot}}$ har. Generellt ser det ju ut som om vi har en mappning $(U_1,U_2) \mapsto S_1(U_1)+S_2(U_2)$ , så $S_{\text{tot}}=S_{\text{tot}}(U_1,U_2)=S_{\text{tot}}(U_1,U-U_1)$

Men om vi gör omskrivningen $U_2 = U-U_1$ direkt i vår översta ekvation verkar vi ju istället ha en mappning $(U_1,U) \mapsto S_1(U_1)+S_2(U-U_1)$ , och då har vi ju beroende $S_{\text{tot}}=S_{\text{tot}}(U_1,U)$ .

Vilket av dessa alternativ stämmer? Det gäller ju knappast allmänt att $S_{\text{tot}}(U_1,U-U_1)=S_{\text{tot}}(U_1,U)$ . Vad är det som går fel i alternativet som inte stämmer?

Va?

Du verkar inte uppmärksamma att två funktioner som beskriver samma fysiska samband har olika algebraisk representation.

Fysikalisk ekvivalens är inte samma som matematisk ekvivalens men i fysiken så bryr vi oss inte om att skriva ut våra inverstransformer i uttrycken (eftersom det vore vansinnigt)

Ex:

Låt oss ta

$f(x,y) = x + y$

och att vill göra ett variabelbyte:

$u = (x + y)/2$

$v = (x - y)/2$

Fysikerns variabelbyte är att skriva

$f(u,v) = 2u$

där det är underförstått att f representerar samma storhet men att dess algebraiska form nu är multiplikation med 2 istället.

Denna notation är egentligen mängdmatematiskt inkorrekt eftersom inversoperationen (x,y)->(u,v) inte representeras symboliskt. Formellt är det inte samma funktion i mängdmatematisk mening även om det är samma i fysisk mening.

En pedantisk matematiker hade istället skrivit

$f(u + v, u - v) = 2u$

eftersom symbolen $f$ fortfarande är mönstret f(_,_) = _ + _.

Ska man vara mängdmatematisk korrekt så måste man vid varje variabelbyte introducera en ny funktionssymbol eftersom både variabeln och funktionen transformeras.

$g(u,v) = 2u$

Men då variabler i fysiken representerar fysikaliska snarare än matematiska objekt, så bibehåller vi samma symbol för storheten även vid variabelbyten eftersom det fungerar utmärkt så länge man helt enkelt minns att den fysikaliska storheten är resultatet av operationen och inte hur operationen utförs.

Tack för svar.

Jag hänger inte riktigt med på svaret men det kanske beror på att jag ställde min fråga dåligt. Jag kanske kan ställa den lite mer direkt:

Om vi bildar en summafunktion $S_{\text{tot}}:=S_1(U_1) + S_2(U_2)$ där $U_1+U_2=U$ , beror $S_{\text{tot}}$ strikt, matematiskt sett på $U_1$ och $U$ eller beror den på $U_1$ och $U-U_1$ ?

Om du betraktar S som en matematisk funktion (exempelvis som $S(x,y) = x + y$ ) så är

$S(U_1,U_2) = S(U_1, U - U_1)$ sannt helt enkelt eftersom VL och HL ger samma värden när man sätter in värden på $U_1$ och $U_2$ som tillfredställer $U_1 + U_2 = U$

medan

$S(U_1,U_2) = S(U_1, U)$ är falskt eftersom $U_2$ och $U$ inte är samma tal...

Sedan kan vi ändå säga att $S(U_1, U_2)$ och $S(U_1, U)$ och $S(U_2, U)$ alla är möjliga sätt att reprenstera samma entropi även om S:en formellt är olika matematiska funktioner.

Betecknar du $S_{\text{tot}}$ med $S$ ?

Det jag tänker är att om vi har $S_1(U_1)+S_2(U_2)$ och $U_1$ och $U_2$ vore helt oberoende, då hade man kunnat säga att summafunktionen $S_{\text{tot}}$ beror på $U_1$ och $U_2$ .

Men nu är de ju INTE helt oberoende, och det är detta som ställer till det i huvudet på mig. Maximalt en av dem kan ju vara oberoende. Så då borde väl summafunktionen egentligen bero på $U_1$ och $U$ eller alternativt $U_2$ och $U$ ?

Svara

Visa senaste svar