Beskriver mängderna "samma" funktion trots att de innehåller olika typer av element?

Är inte definitionen (x, y1), (x, y2)$\in f\Rightarrow y1=y2$?

Så sant! Jag skrev fel. Korrigerar genast!

Kolla denna sats.

Gult kort för slarvig notation – du måste skriva i vilken mängd (x,y) och (x,y,z) ligger när du använder mängdbyggarnotationen! 🙂

Som du skriver det nu när det omöjligt att utläsa vad definitionsmängden och målmängden är för de båda funktionerna.

Till exempel antar jag att den första mängden är

$\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}:x=y\}$

vilket motsvarar en funktion $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, men jag fattar inte riktigt vad du menar för den andra funktionen.

Jag tänker mig reellvärda funktioner i alla fall, så tuplar ur $\mathbb{R}^3$ och $\mathbb{R}^2$.

Vad är definitionsmängden för den andra funktionen?

Jag tänker att det bara är $\mathbb{R}^2$.

Vart mappar den i så fall elementet (1,2)? 

Eller nej, fel av mig. (1,2) ligger ej i funktionens domän, så som jag tänker mig den. Jag tänker mig att domänen ska vara en delmängd till $\mathbb{R^2}$ sådan att det alltid gäller att $x-y=0$. Sedan ska målmängden vara sådan att $z=0$ $\forall x,y$.

Jag är inte så pigg just nu och det var jag inte heller när jag författade inlägget, så jag ursäktar för den låga kvalitén och tvetydigheterna. Det jag undrar över är alltså övergången från att uttrycka funktionen genom en relation $y=f(x)$ till att uttrycka den genom en relation $z=f(x,y)=0$. Det verkar som vi "går upp" en dimension i funktionens definition. 

Det är lätt hänt! Men bra, det stämmer att vi kan betrakta din andra funktion (som lite mer formellt skulle kunna skrivas {((x,y),z) in R^2×R : z=x-y=0}) som en funktion av typen {(x,y) in R^2 : x=y}->{0}. Notera att detta är den konstanta funktionen som tar värdet 0 för alla (x,y) i definitionsmängden.

Detta är väldigt annorlunda från din första funktion som är identitetsfunitionen R->R, vilken är långt ifrån konstant! Så jag är inte riktigt med på vad som ger dig känslan av att den första och andra funktionen skulle kunna sägas vara lika.

Det vore för övrigt intressant om du kunde ge oss ett konkret exempel ur en text som gör den här "övergången" som du syftar på.

Jag vill minnas att jag läste en artikel nyligen om algebraiska kurvor där man insisterade på den här typen av notation. Jag ska leta fram den och återkommer efter att jag har slaggat!

Jag hittade inte artikeln jag tänkte på, men jag hittade en annan artikel om algebraiska kurvor. Definitionen av en algebraisk kurva är följande:

An algebraic curve over a field $K$ is an equation $f(x,y)=0$ where $f(x,y)$ is a polynomial in $x$ and $y$ with koefficients in $K$.

Sedan tar de upp kvadratiska kurvor som ett specifikt exempel på en kvadratisk kurva:

The general bivariate quadratic curve can be written

$\displaystyle ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2fy+g=0$

Det som förvirrar mig nu är följande:

Vi använder notationen $f(x,y)$ trots att vi bara har två variabler, en vi sätter som beroende och en vi sätter som oberoende. Notationen vi använder används ju oftast när vi har en funktion i två variabler, alltså en funktion som definieras av något på formen $z=f(x,y)$, men här skulle vi (så länge $c=0$ i allmänhet) kunna skriva detta på formen $y=f(x)$, vilket definierar en funktion i en variabel. Det verkar alltså finnas två sätt att representera "samma" funktion på (i en variabel eller i två variabler).

Förhoppningsvis går min fråga fram nu. Mitt försök att definiera en funktion $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ var ett försök att återskapa ett konkret exempel på detta, men det gick väl lite sisådär.

Artikeln jag fick detta ur var för övrigt:

https://mathworld.wolfram.com/AlgebraicCurve.html

Jag tycker inte du ska tänka på algebraiska kurvor i planet som funktioner, utan snarare mängder som är beskrivna av polynomekvationer i två variabler. (Artikeln går till och med så långt som att identifiera algebratiska kurvor med ekvationerna som beskriver dem, men det tycker jag är att gå för långt!)

Eftersom man alltid kan flytta över alla termer i en ekvation till ena sidan av likhetstecknet kan man ekvivalent beskriva algebraiska kurvor i planet som mängder av nollställen till polynomfunktioner i två variabler.

Ett klassisk exempel från gymnasiet är enhetscrikeln:

$C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$

som skulle kunna beskrivas som nollställena till polynomfunktionen $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definierad av $f(x,y)=x^2+y^2-1$.

Tekniskt sett vill vi gärna se funktioner som mängder i mängdteoretisk bemärkelse. Om du tänker efter har du säkert stött på fenomenet tidigare, till exempel utgörs ett plan i tre dimensioner av de punkter som uppfyller planets ekvation

$Ax+By+Cz=D$, dvs $F(x,y,z)=D$

Det är alltså en funktionsyta till en funktion.

Och som du vet är det också möjligt att beskriva samma punktmängd med hjälp av två basvektorer och en punkt i planet.

$(x,y,z)=c_1\vec{b_1}+c_2\vec{b_2}+\mathbf{P}_0$

Frågan huruvida två mängder är "lika" är komplicerad och bygger egentligen på vilka axiomtolkningar man väljer, men för praktiska tillämpningar räcker det ofta med att använda någon av de förenklade varianterna av isomorfism och "likhet" man använder inom tillämpad matematik som t.ex. analys och algebra.

Eftersom man alltid kan flytta över alla termer i en ekvation till ena sidan av likhetstecknet kan man ekvivalent beskriva algebraiska kurvor i planet som mängder av nollställen till polynomfunktioner i två variabler.

Men låt säga att vi har exemplet från början då:

$\displaystyle f:=\{ (x,y)\in\mathbb{R^2}:y=x \}$

Vi ser att funktionen bestäms unikt av ekvationen $\displaystyle y=x$. Om vi skulle gruppera om alla termer skulle vi få ett ekvivalent samband $y-x=0$. Kan vi då alltså se det som att $f$ antingen definieras av sambandet $y=x$ eller som mängden av alla punkter $(x,y)\in\mathbb{R^2}$ sådana att $g(x,y)=0$ för någon tvåvariabel funktion $g$? Det vill säga, om funktionen $f$ är trevlig nog, kan vi välja att antingen definiera den genom ett samband $y=f(x)$, eller som mängden av alla nollställen till en funktion av högre dimension?

Frågan huruvida två mängder är "lika" är komplicerad och bygger egentligen på vilka axiomtolkningar man väljer, men för praktiska tillämpningar räcker det ofta med att använda någon av de förenklade varianterna av isomorfism och "likhet" man använder inom tillämpad matematik som t.ex. analys och algebra.

Jo men precis. Något jag har fått reda på genom diskussioner här på PA är att man ofta inte bryr sig så mycket om exakt vilka typer av element mängder innehåller. Praktiskt kan man ofta betrakta mängder som "lika" om de har samma struktur, alltså är isomorfa. T.ex. de olika konstruktionerna av $\mathbb{R}$ verkar ju vara ett exempel på det. Beroende på om man definierar de reella talen med gränsvärden av Cauchyföljder eller Dedekindsnitt så får man talmängder med strikt sett olika typer av objekt, men eftersom mängderna har samma struktur kan de lika gärna betraktas som "samma". Faktum är att man ju gör detta bra mycket tidigare än vid de reella talen. Redan vid övergången från de naturliga talen till heltalen måste man göra detta (i alla fall i konstruktionerna jag har sett där man börjar med von Neumann ordinaler).

Jag tror att jag såg någon kalla matematiken för "studiet av strukturer" eller något i den stilen... Ganska passande!

Ska vi vara petnoga kan du börja med att definiera din funktion (y=f(x)=x) som en binär relation så här:

$F=\{(x,x)\,|\, x\in \mathbb{R}\}$

Denna relation är dessutom en funktion eftersom $aFb_1$ och $aFb_2$, $b_1=a$ och $b_2=a$ alltså $b_1=b_2$

Fortsätter vi vara noggranna är funktionerna (mängderna) $F$ och $G$  "lika" om och endast om $\mathrm{dom}F=\mathrm{dom}G$ och $F(x)=G(x)$ för alla $x\in \mathrm{dom}F$ enligt Extensionalitetsaxiomet,

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality

Frågan huruvida detta är samma "funktion" som något som definieras på annat vis beror sedan på vad du själv väljer att lägga in i begreppet (eller inom vilket område du jobbar, det bästa är som vanligt att anpassa sig!). Ett sätt att se på saken är att säga att ekvationssystem som har "samma" lösningsmängd definierar samma "grundfunktion". Detta synsätt är släkt med konceptet locus som var poppis innan mängdläran räddade matematiken. https://en.wikipedia.org/wiki/Locus_(mathematics)

naytte skrev:

Eftersom man alltid kan flytta över alla termer i en ekvation till ena sidan av likhetstecknet kan man ekvivalent beskriva algebraiska kurvor i planet som mängder av nollställen till polynomfunktioner i två variabler.

Men låt säga att vi har exemplet från början då:

$\displaystyle f:=\{ (x,y)\in\mathbb{R^2}:y=x \}$

Vi ser att funktionen bestäms unikt av ekvationen $\displaystyle y=x$. Om vi skulle gruppera om alla termer skulle vi få ett ekvivalent samband $y-x=0$. Kan vi då alltså se det som att $f$ antingen definieras av sambandet $y=x$ eller som mängden av alla punkter $(x,y)\in\mathbb{R^2}$ sådana att $g(x,y)=0$ för någon tvåvariabel funktion $g$? Det vill säga, om funktionen $f$ är trevlig nog, kan vi välja att antingen definiera den genom ett samband $y=f(x)$, eller som mängden av alla nollställen till en funktion av högre dimension?

En algebraisk kurva $\mathcal{C}\subseteq\mathbb{R}^2$ kan alltid skrivas som en mängd av nollställen

   $\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid g(x,y)=0\}$

för en polynomfunktion i två variabler $g\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$.

Om man tar tur kan man man lösa ekvationen $g(x,y)=0$ för $y$ och få en ekvivalent ekvation $y=f(x)$ för någon väl vald funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Då kan vi säga att $\mathcal{C}$ är grafen $f$, det vill säga

   $\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=f(x)\}=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}.$

Om man gillar ZFC-teori kan man till och med säga att $\mathcal{C}$ är lika med $f$, eftersom en funktion formellt sett är samma sak som det man vardagligt kallar funktionens graf.

Exempel:

• Som du har konstaterat ovan så är kurvan $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x-y=0\}$ grafen till funktionen $f(x)=x$.
• Parablen $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y-x^2=0\}$ är grafen till $f(x)=x^2$.
• Cirkeln $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2-1=0\}$ kan inte skrivas som grafen till någon funktion.

Sidenote: Även om cirkeln inte är en graf, så är den likväl bilden av funktionen $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ definierad av $t\mapsto (\cos(t),\sin(t))$.

Det var precis detta jag var ute efter.

Tack fär hjälpen! :D