27 svar
122 visningar
Nichrome 458
Postad: 26 okt 2020

Bestäm alla par (x,y)

Bestäm alla par (x,y) av positiva heltal sådan att xy + x + 2y =100

Jag såg att det var enklare att testa olika värden på y så jag gjorde det och hittade två par:

y = 1  och x = 49

y = 2 och x = 32

om man sedan testar y = 3 etc då får man inte ett heltalsvärde så jag antar och jag testade sedan med x 

x = 1 och y = 33

x = 2  då blir y = 24.5  

så x kan vara 32, 49 och 1, y kan vara 33, 1 och 2 

 

Finns det flera par? Och hur kan jag hitta paren utan att testa mig fram eller hur kan jag testa mig fram metodiskt?

 

När jag testade mig fram märkte jag att 

om t.ex y = 2

2*2y = 4

2x + x = 3x 

så 3x + 4 = 100 

så man kan addera x och xy oavsett vilket värde y har. Men det blir fel när jag försöker skriva om ekvationen, 2x*y + 2y = 100 eller jag vet inte hur jag ska förenkla ekvationen 

Yngve Online 18456 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 26 okt 2020 Redigerad: 26 okt 2020

xy+x+2y=100xy+x+2y=100

xy+2y=100-xxy+2y=100-x

y(x+2)=100-xy(x+2)=100-x

y=100-xx+2y=\frac{100-x}{x+2}

  • Eftersom yy ska vara ett positivt tal så måste ... <kan du fylla i villkoret själv?>
  • Eftersom yy ska vara ett heltal så måste ... <kan du fylla i villkoret själv?>
Nichrome 458
Postad: 26 okt 2020

x kan inte vara större än 100 eller lika med 100 för att då blir täljaren negativ eller lika med 0 

x + 2 ska alltid vara mindre än 100-x och delbart med x+ 2 men jag förstår inte hur det ska funka.

jag skrev ett ekvationssystem

100 -x = b

x + 2 = b

x = b -2

100 -2 = 2b

98 = 2b

b = 48 

eller y = 48 

men jag vet inte hur jag ska göra för att ett värde på x ger olika värden på nämnaren och täljaren. Om x = 1 då blir y ett positivt heltal men om x är 2 eller större än 2 då funkar det inte. 

Nichrome skrev:

x kan inte vara större än 100 eller lika med 100 för att då blir täljaren negativ eller lika med 0 

Bra, det stämmer. Det måste alltså gälla att 1x991\leq x\leq99

x + 2 ska alltid vara mindre än 100-x och delbart med x+ 2 men jag förstår inte hur det ska funka.

Ja, om du menar att 100-x100-x ska vara delbart med x+2x+2 så har du rätt. 

Om du istället löser ut xx ur ursprungsekvationen så får du x=100-2yy+1x=\frac{100-2y}{y+1}.

Du kan nu gå igenom alla möjliga värden på yy från 1 och uppåt och se vilka av dessa som gör att xx blir ett heltal.

Nichrome 458
Postad: 26 okt 2020
Yngve skrev:
Nichrome skrev:

x kan inte vara större än 100 eller lika med 100 för att då blir täljaren negativ eller lika med 0 

Bra, det stämmer. Det måste alltså gälla att 1x991\leq x\leq99

x + 2 ska alltid vara mindre än 100-x och delbart med x+ 2 men jag förstår inte hur det ska funka.

Ja, om du menar att 100-x100-x ska vara delbart med x+2x+2 så har du rätt. 

Om du istället löser ut xx ur ursprungsekvationen så får du x=100-2yy+1x=\frac{100-2y}{y+1}.

Du kan nu gå igenom alla möjliga värden på yy från 1 och uppåt och se vilka av dessa som gör att xx blir ett heltal.

y = 1 och y = 2 funkar, om y är större än 2 funkar det inte. Men varför är det så? 

Nichrome 458
Postad: 26 okt 2020

och x = 1 funkar men x = 2 och x = 3 funkar inte men x = 4 funkar.... 

Du har hittat 4 av de 5 möjliga lösningarna.

Använd x=100-2yy+1x=\frac{100-2y}{y+1} och gå metodiskt igenom alla möjliga värden på yy från 11 och uppåt.

Nichrome 458
Postad: 27 okt 2020

Jag har hittat y = 5 också, men varför funkar det för vissa och inte för de andra? Jag tror det är det problemet går ut på, att bevisa varför det bara går för vissa tal.

Bra, du har hittat alla möjliga par (x, y):

(49, 1)

(32, 2)

(15, 5)

(4, 16)

(1, 33)

Orsaken till att det endast är dessa som fungerar är att alla andra lösningar består av icke-heltal och/eller icke-positiva tal.

Om uppgiften är hämtad från Matte 1 så går den endast ut på att hitta dessa lösningar, inte på att ta fram ett algebraiskt bevis för varför endast dessa lösningar är giltiga.

Nichrome 458
Postad: 27 okt 2020

Den här uppgiften är läxa i en kurs som handlar om bevis, min lärare vill gärna att jag bevisar mina uträkningar. 

Vad heter kursen?

Laguna Online 11732
Postad: 27 okt 2020

xy+x+2y är nästan samma sak som (x+2)(y+1).

Nichrome 458
Postad: 28 okt 2020
Yngve skrev:

Vad heter kursen?

problemlösning 

Nichrome skrev:

problemlösning 

OK, men är det på gynnasienivå Matte 1 (som du har angivit) eller är det på någon annan nivå?

Jag tror att det är en variant av  mattespecialisering, som det finns flera olika varianter av på skolor där man har särskild matteinriktning. Jag skall jobba för att vi får en särskild flik för mattespec.

Nichrome 458
Postad: 28 okt 2020
Yngve skrev:
Nichrome skrev:

problemlösning 

OK, men är det på gynnasienivå Matte 1 (som du har angivit) eller är det på någon annan nivå?

ja, jag läser det samtidigt som Ma1c

Nichrome 458
Postad: 5 nov 2020
Yngve skrev:
Nichrome skrev:

problemlösning 

OK, men är det på gynnasienivå Matte 1 (som du har angivit) eller är det på någon annan nivå?

Går det att bevisa det här på något sätt? 

Laguna Online 11732
Postad: 5 nov 2020

Jag gav ett tips en bit upp.

Nichrome 458
Postad: 8 nov 2020
Laguna skrev:

Jag gav ett tips en bit upp.

ja jag skrev om det så här

(x+2)(y+1)=98 

och jag faktoriserade 98 sedan

(x+2)(y+1): 2*49

men vet fortfarande inte om det räknas som ett bevis 

Laguna Online 11732
Postad: 8 nov 2020

Det är fel, för det ska inte vara 98 i högerledet.

Men sen är det bara att räkna upp alla faktoriseringar som är möjliga.

Nichrome 458
Postad: 8 nov 2020
Laguna skrev:

Det är fel, för det ska inte vara 98 i högerledet.

Men sen är det bara att räkna upp alla faktoriseringar som är möjliga.

varför är det fel?

Du skrev: "xy+x+2y är nästan samma sak som (x+2)(y+1)."

men (x+2)(y+1) ger xy + x + 2y + 2

och då tog jag bort 2 från 100 för att det skulle funka, hur är det fel?

Laguna Online 11732
Postad: 8 nov 2020

Du kan prova att sätta in någon lösning, så ser du.

Nichrome 458
Postad: 8 nov 2020
Laguna skrev:

Du kan prova att sätta in någon lösning, så ser du.

hur annars ska jag använda tipset du gav mig? 

Laguna Online 11732
Postad: 8 nov 2020

Felet är enklare än du tror.

xy + x + 2y = 100

(x+2)(y+1) = xy + x + 2y + 2 = 100+2

Nichrome 458
Postad: 8 nov 2020 Redigerad: 8 nov 2020
Laguna skrev:

Felet är enklare än du tror.

xy + x + 2y = 100

(x+2)(y+1) = xy + x + 2y + 2 = 100+2

men varför blir det fel att ta bort men det är rätt att lägga till 2? 

Är det alltid så?

Nichrome skrev:

men varför blir det fel att ta bort men det är rätt att lägga till 2? 

Är det alltid så?

Om du lägger till 2 på ena sidan av en ekvation så måste du lägga till 2 även på den andra sidan, annars är ju inte de båda sidorna lika stora längre.

I det här fallet utgick du från

xy + x + 2y = 100

Sedan adderar du 2 till vänsterledet, så då måste du även addera 2 till högerledet:

xy + x + 2y + 2 = 100 + 2

Nu kan du faktorisera vänsterledet:

(x + 2)(y + 1) = 102

Nichrome 458
Postad: 8 nov 2020

(x+2)(x+1)= 2*51

Ja, 2*51 är ett sätt att skriva 102 som en produkt av två faktorer. Men det finns fler.

För att hitta alla sätt så kan du börja med att primtalsfaktorisera 102 fullständigt och sedan dela in dessa faktorer i två grupper på alla möjliga sätt.

Svara Avbryt
Close