12 svar
241 visningar
Zeptuz behöver inte mer hjälp
Zeptuz 197
Postad: 23 dec 2023 23:19

Bestäm arean av den yta so uppkommer då kurvan y= 2sqrt(x) roteras kring y-axeln

Bestäm arean av den yta so uppkommer då kurvan y =2x, 0<=x<=1 roteras ett varv kring y-axeln

mina uträkningar: 2π01x1+(1x)2dx= 2π01xx+1xdx =2π01x2(1+1x)dx==2π01x2+xdx

Jag vet inte riktigt hur jag ska integrera härifrån. Jag har testat att substituera u = x2+x och u = x2+xmen det blir inte rätt. Hur ska jag integrera den här integralen?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 23 dec 2023 23:26
Zeptuz skrev:

Bestäm arean av den yta so uppkommer då kurvan y =2x, 0<=x<=1 roteras ett varv kring y-axeln

mina uträkningar: 2π01x1+(1x)2dx= 2π01xx+1xdx =2π01x2(1+1x)dx==2π01x2+xdx

Jag vet inte riktigt hur jag ska integrera härifrån. Jag har testat att substituera u = x2+x och u = x2+xmen det blir inte rätt. Hur ska jag integrera den här integralen?

Som vanligt: Börja med att rita. Lägg upp bilden här. 

naytte 5097 – Moderator
Postad: 24 dec 2023 01:12 Redigerad: 24 dec 2023 01:21

För att lösa integralen kan du testa att göra variabelbytet x=tan2θ\displaystyle x=\tan^2{\theta}. Finns det någon trevlig identitet du då kan utnyttja? :)

Tips om du fastnar

Börja med att plocka fram ett uttryck för dx\displaystyle \mathrm{d}x. Det blir då: 

dx=2tanθ·sec2θ·dθ\displaystyle \mathrm{d}x=2\tan{\theta}\cdot \sec^2{\theta} \cdot \mathrm{d}\theta

Substituera sedan in detta i integralen:

x(x+1)dx=tan2θ(tan2θ+1)·2tanθ·sec2θdθ\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x(x+1)}\mathrm{d}x=\int_{}^{}\sqrt{\tan^2\theta(\tan^2\theta+1)}\cdot2\tan\theta\cdot \sec^2\theta \mathrm{d}\theta

Ser du någon fin identitet här?


Tillägg: 24 dec 2023 01:37

Nu när jag börjar lösa integralen på detta sätt blir det ganska komplicerat. Men det går. Men det lär finnas ett bättre sätt!

Zeptuz 197
Postad: 24 dec 2023 12:03
naytte skrev:

För att lösa integralen kan du testa att göra variabelbytet x=tan2θ\displaystyle x=\tan^2{\theta}. Finns det någon trevlig identitet du då kan utnyttja? :)

Tips om du fastnar

Börja med att plocka fram ett uttryck för dx\displaystyle \mathrm{d}x. Det blir då: 

dx=2tanθ·sec2θ·dθ\displaystyle \mathrm{d}x=2\tan{\theta}\cdot \sec^2{\theta} \cdot \mathrm{d}\theta

Substituera sedan in detta i integralen:

x(x+1)dx=tan2θ(tan2θ+1)·2tanθ·sec2θdθ\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x(x+1)}\mathrm{d}x=\int_{}^{}\sqrt{\tan^2\theta(\tan^2\theta+1)}\cdot2\tan\theta\cdot \sec^2\theta \mathrm{d}\theta

Ser du någon fin identitet här?


Tillägg: 24 dec 2023 01:37

Nu när jag börjar lösa integralen på detta sätt blir det ganska komplicerat. Men det går. Men det lär finnas ett bättre sätt!

Ja jag har sett den lösningsvägen också, men vår lärare använder inte den här typen av konvertering och jag har nästan ingen kunskap om sekantfunktionen så jag  håller mig till det läraren har lärt oss. Men tack ändå!

Zeptuz 197
Postad: 24 dec 2023 12:06
Smaragdalena skrev:
Zeptuz skrev:

Bestäm arean av den yta so uppkommer då kurvan y =2x, 0<=x<=1 roteras ett varv kring y-axeln

mina uträkningar: 2π01x1+(1x)2dx= 2π01xx+1xdx =2π01x2(1+1x)dx==2π01x2+xdx

Jag vet inte riktigt hur jag ska integrera härifrån. Jag har testat att substituera u = x2+x och u = x2+xmen det blir inte rätt. Hur ska jag integrera den här integralen?

Som vanligt: Börja med att rita. Lägg upp bilden här. 

naytte 5097 – Moderator
Postad: 24 dec 2023 14:59

Zeptuz skrev:

Ja jag har sett den lösningsvägen också, men vår lärare använder inte den här typen av konvertering och jag har nästan ingen kunskap om sekantfunktionen så jag  håller mig till det läraren har lärt oss. Men tack ändå!

Förstår. Jag är lite osäker på hur man skulle lösa detta utan trig-sub, en u-sub verkar lite suspekt här. Eller jag kan åtminstone inte hitta någon bra sådan. Men sekansfunktionen är inte så konstig egentligen, det gäller helt enkelt att:

secx=1cosx\displaystyle \sec x = \frac{1}{\cos x}

oneplusone2 567
Postad: 24 dec 2023 15:45 Redigerad: 24 dec 2023 15:48

Har du en bild på frågan? 

 

Zeptuz 197
Postad: 24 dec 2023 20:02
oneplusone2 skrev:

Har du en bild på frågan? 

 

Frågan är exakt det jag skrev. Bara en text som skriver det där.

oneplusone2 567
Postad: 24 dec 2023 21:13 Redigerad: 24 dec 2023 21:19

OK låt oss utgå ifrån att området som definieras av y=2x och 0<x<1 ska roteras runt y axeln.

Cylinderformeln

V=012*π*x*h(x)dxV=2π01xh(x)dx=2π01x2xdx=4π01xxdxV=4π01x3/2dx =4π x5/25/201=8π5

Är du inte bekant med cylinderformeln kan du köra skivformeln i y-led

y=2xx=y240<x<1  0<y<2Vy=02π*r2 dy =π02y416dy=π1602y4dyVy=π16y5502=32π80=2π5
Vy ska subtraheras från en större cylinder med dimensionerna r=1 h=2

V=Vc-VyVc=πr2*h=π*1*2=2πV=Vc-Vy=2π-2π5=8π5

Är det AREAN du är ute efter så blir det andra beräkningar.

Zeptuz 197
Postad: 24 dec 2023 22:28 Redigerad: 24 dec 2023 22:29
oneplusone2 skrev:

OK låt oss utgå ifrån att området som definieras av y=2x och 0<x<1 ska roteras runt y axeln.

Cylinderformeln

V=012*π*x*h(x)dxV=2π01xh(x)dx=2π01x2xdx=4π01xxdxV=4π01x3/2dx =4π x5/25/201=8π5

Är du inte bekant med cylinderformeln kan du köra skivformeln i y-led

y=2xx=y240<x<1  0<y<2Vy=02π*r2 dy =π02y416dy=π1602y4dyVy=π16y5502=32π80=2π5
Vy ska subtraheras från en större cylinder med dimensionerna r=1 h=2

V=Vc-VyVc=πr2*h=π*1*2=2πV=Vc-Vy=2π-2π5=8π5

Är det AREAN du är ute efter så blir det andra beräkningar.

hmm svaret enligt facit är π(62-ln(3+22))4, är det här samma?

Laguna Online 30622
Postad: 25 dec 2023 15:49
oneplusone2 skrev:

OK låt oss utgå ifrån att området som definieras av y=2x och 0<x<1 ska roteras runt y axeln.

Cylinderformeln

V=012*π*x*h(x)dxV=2π01xh(x)dx=2π01x2xdx=4π01xxdxV=4π01x3/2dx =4π x5/25/201=8π5

Är du inte bekant med cylinderformeln kan du köra skivformeln i y-led

y=2xx=y240<x<1  0<y<2Vy=02π*r2 dy =π02y416dy=π1602y4dyVy=π16y5502=32π80=2π5
Vy ska subtraheras från en större cylinder med dimensionerna r=1 h=2

V=Vc-VyVc=πr2*h=π*1*2=2πV=Vc-Vy=2π-2π5=8π5

Är det AREAN du är ute efter så blir det andra beräkningar.

Ja, det står ju i frågan att det gäller arean.

naytte 5097 – Moderator
Postad: 25 dec 2023 20:38 Redigerad: 25 dec 2023 20:41

Jag utgår nu ifrån att din integral faktiskt motsvarar arean, och tog mig friheten att lösa den med metoden jag föreslog förut, eftersom inga framsteg verkar ha gjorts sedan dess:

Jag gjorde helt enkelt om integralen så att istället för att integrationsgränserna går från 0 till 1 (för x) går de nu från 0 till pi/4 (för theta). Hoppas det hjälpte!

Laguna Online 30622
Postad: 26 dec 2023 11:12

Man kan kvadratkomplettera x2+x så att det blir (x + 1/2)2 - 1/4. Om man sedan sätter t = x + 1/2 har man t2-1/4\sqrt{t^2 - 1/4} och har kommit en bit på väg. 

Svara
Close