Bestäm den primitiva funktionen F(x)

Hej, integrering görs på följande vis: $f(x)=x^n, F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Det är dock lite speciellt för $e^{kx}$ därför att dess integral blir $\dfrac{e^{kx}}{k}$, kommer du vidare?

Förlåt mig men jag förstår inte din metod 

Hej, vad är det specifikt du inte förstår? Det första är bara den vanliga Integreringsregeln och det andra är integrering av funktionen $e^{kx}$. Derivering och integrering av e är lite speciella och följer inte de vanliga reglerna.

Är ursprungsfunktionen $f(x)=2e^{2x}+3x^2$?

I så fall har du nästan en korrekt primitiv funktion $F(x)$ (fast du har glömt att addera konstanten $C$).

Du ska alltid alltid kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera den och jämföra med ursprungsfunktionen.

Om det gäller att $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ en primitiv funktion till $f(x)$, annars inte.

Derivera ditt förslag och jämför resultatet med utsprungsfunktionen.

Är de identiska?

Ska man alltid lägga till en konstant C när man skriver en primitiv funktion? 

Nej det beror på hur ftågan är ställd.

Men har du kontrollerat ditt förslag på primitiv funktion F(x)?

Yngve skrev:

Nej det beror på hur ftågan är ställd.

Men har du kontrollerat ditt förslag på primitiv funktion F(x)?

Kan du ge exempel på när man ska ha med en konstant C och när man inte ska ha en konstant C

Här vill du ha med C. Om du beräkna en numerisk integrand behöver du inte ha med C eftersom f(b)-f(a) kommer ta ut C så man kan skippa den.

Hur menar du? Förstår inte dig riktigt 

Om du skulle beräknat exempelvis $\[ \int_{a}^{b} x^2 \,dx \]$ hade du fått $F(b)-F(a)$ och konstanten C kommer försvinna eftersom C-C=0 och detta sker alltid pm du har en numerisk integrand som ska beräknas. Du kan om du vill ha med konstanten men det gör ingen skillnad ifall du skippar den. I ditt fall dock måste du ha med C eftersom integralen av din funktion + C ger alla primitiva funktioner till f(x). Vi söker dock en specifik variant som gör att F(0)=0.

Ok när ska man inte ha med konstanten C?

Katarina149 skrev:

Kan du ge exempel på när man ska ha med en konstant C och när man inte ska ha en konstant C

Fråga 1: Bestäm den primitiva funktionen F(x)  till f(x) = 2x som uppfyller villkoret F(1) = 5. Här måste du använda integrationskonstanten C för att kunna uppfylla det givna villkoret.

Fråga 2: Bestäm en primitiv funktion F(x) till funktionen f(x) = 2x. Här behöver du inte använda integrationskonstanten C eftersom det inte efterfrågas någon specifik primitiv funktion.

Alltså ska man sätta till integrationskonstanten endast när det efterfrågas efter någon specifik primitiv funktion 

Det är nog lättare att säga när du inte behöver ha med integrationskonstanten:

• Då du ska beräkna en bestämd integral (dvs en integral med integrationsgränser).
• Om det efterfrågas en primitiv funktion (vilken som helst).

Du måste alltså ha med integrationskonstanten till exempel om det efterfrågas en specifik primitiv funktion eller om det som efterfrågas är alla primitiva funktioner.

Man skall alltid ha med konstanten om det står i frågan, bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x).

Läs här https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/integraler/primitiv-funktion

Yngve skrev:

Det är nog lättare att säga när du inte behöver ha med integrationskonstanten:

• Då du ska beräkna en bestämd integral (dvs en integral med integrationsgränser).
• Om det efterfrågas en primitiv funktion (vilken som helst).

Du måste alltså ha med integrationskonstanten till exempel om det efterfrågas en specifik primitiv funktion eller om det som efterfrågas är alla primitiva funktioner.

Jag är med på din första punkt gällande en berömd integral. Jag är däremot inte med på din andra punkt gällande ”vilken som helst”. 

Om du får problemet: hitta en primitiv funktion till $f(x)=2x$ så behöver du endast ange en enda. Du kan ange $F(x)=x^2+1$ eller $F(x)=x^2$ (här antar vi C=0), eller om du vill kan du fortfarande ange alla primitiva funktioner genom att skriva $f(x)=x^2+C$. I din uppgift vill vi inte ha vilken primitiv funktion som helst, vi vill ha den som uppfyller villkoret att $F(0)=0$ och då måste C vara med, det skulle kunna vara så att vi inser sen att C=0 och då kan vi skriva svaret utan C men om C inte är 0 måste den vara med för att villkoret ska uppfyllas.

Jaha okej. Kan du ställa mig en likande fråga så att vi kan checka av att jag förstått hur man ska tänka 

Ange alla primitiva funktioner till $f(x)=2$

Ange en primitiv funktion till $f(x)=3x$

Om $f(x)=7$, vad är $F(x)$?

(1) F(x)=2X+C 

(2) F(x)=(x^4)/(4 )
(3)  F(x)=7x +C (Är lite osäker här, ska jag lägga till ett C eller inte? )

Ja, om vi bortser från att du råkade slarva på integreringen i (2) är allt helt korrekt. Jag hade personligen alltid skrivit +C förutom när jag har numeriska integraler eftersom de tar ut varandra. (se mitt tidigare inlägg). Känner du dig redo nu att tackla ditt ursprungsproblem? 

Hur kan jag integrera funktionen f(x)=3x? Jag fastnade där 

Borde det inte vara att man upphöjder exponenten med 1 + ursprungliga funktionens exponent 

3x^(2) /3?

Du kan och bör alltid alltid kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera den och se om du då får tillbaka tillbaka ursprungsfunktionen.

I så fall hade du en korrekt primitiv funktion, annars inte.

Så, pröva nu att derivera 3x^2/3. Vad blir derivatan?

2*3x/3 = 2X .. Men hur kom du fram till att det just ska vara den primitiva funktionen? Testade du dig fram eller?

$f(x)=3x$, $F(x)=\dfrac{3x^{1+1}}{1+1}=\dfrac{3x^2}{2}$, du fick $F(x)=\dfrac{3x^2}{3}$, vi gör en kontroll genom att derivera, $f(x)=\dfrac{6x^2}{3}=2x$ men vi började med 3x. 

Vi deriverar nu istället det korrekta svaret, $\dfrac{3x^2}{2}$, vi får $\dfrac{6x}{2}=3x$.  tänk alltid på att det du ska göra är att om $f(x)=x^n$ så är din derivata $nx^{n-1}$, och integralen är då istället $\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)}$

Dracaena skrev:

$f(x)=3x$, $F(x)=\dfrac{3x^{1+1}}{1+1}=\dfrac{3x^2}{2}$, du fick $F(x)=\dfrac{3x^2}{3}$, vi gör en kontroll genom att derivera, $f(x)=\dfrac{6x^2}{3}=2x$ men vi började med 3x. 

Vi deriverar nu istället det korrekta svaret, $\dfrac{3x^2}{2}$, vi får $\dfrac{6x}{2}=3x$.  tänk alltid på att det du ska göra är att om $f(x)=x^n$ så är din derivata $nx^{n-1}$, och integralen är då istället $\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)}$

Jaha ok nu förstår jag! Tack :)

Katarina149 skrev:

. Men hur kom du fram till att det just ska vara den primitiva funktionen? Testade du dig fram eller?

Vad menar du? Det var ju du som kom fram till det, inte jag.