8 svar
83 visningar
Cien är nöjd med hjälpen
Cien 286
Postad: 13 okt 17:39 Redigerad: 13 okt 17:41

Bestäm derivatan av inversen i punkten

Funktionen f(x)=3x3+7xx2+3f(x)=\frac{3x^3+7x}{x^2+3} är inverterbar. Bestäm derivatan av f-1f^{-1} i punkten -52-\frac{5}{2}

Så de söker (f-1)'(-52)(f^{-1})'(-\frac{5}{2}), jag tänker att jag börjar med att hitta f-1(x)f^{-1}(x) för att sedan derivera inversen och stoppa in -52-\frac{5}{2}. Jag kör dock fast direkt då jag inte ens kan hitta inversen. Lösningsgången:

y=f-1(x)ochx=f(y)=3y3+7yy2+3y=f^{-1}(x) \: och \: x=f(y)=\frac{3y^3+7y}{y^2+3} vet inte hur man ska lösa ut y här ens, verkar riktigt böckigt, är det ens så här man bör börja?

 

Tacksam för svar

Hilda 367 – Live-hjälpare
Postad: 13 okt 19:56

Börja med att skriva y = 3x3+ 7xx2 + 3

Sen löser du ut x, dvs skriver om uttrycket så att du får x = någonting med y 

osv

Cien 286
Postad: 13 okt 20:02
Hilda skrev:

Börja med att skriva y = 3x3+ 7xx2 + 3

Sen löser du ut x, dvs skriver om uttrycket så att du får x = någonting med y 

osv

Det jag har försökt, bara att jag har bytt på y och x, kan inte lösa ut 

Laguna Online 16910
Postad: 13 okt 22:02

Du behöver inte f-1(x). Du kan använda ett samband mellan derivatorna av f(x) och f-1(x).

tomast80 3686
Postad: 14 okt 05:30

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/03%3A_Derivatives/3.7%3A_Derivatives_of_Inverse_Functions

Cien 286
Postad: 14 okt 20:59

Problemet jag har är att hitta värdet av z i (f-1)'(-52)=z(f^{-1})'(-\frac{5}{2})=z, om jag har det så kan jag lösa uppgiften. Har helt kört fast i detta steget dock och om någon kan ge mig en liten spark på traven hade det uppskattas :)

Cien skrev:

Problemet jag har är att hitta värdet av z i (f-1)'(-52)=z(f^{-1})'(-\frac{5}{2})=z, om jag har det så kan jag lösa uppgiften. Har helt kört fast i detta steget dock och om någon kan ge mig en liten spark på traven hade det uppskattas :)

 (f-1)'(-52)är ju hela uppgiften, eller hur? Om du menar bara f-1(-52)=z, då behöver du lösa f(z) = -52.

Cien 286
Postad: 14 okt 21:29
creamhog skrev:
Cien skrev:

Problemet jag har är att hitta värdet av z i (f-1)'(-52)=z(f^{-1})'(-\frac{5}{2})=z, om jag har det så kan jag lösa uppgiften. Har helt kört fast i detta steget dock och om någon kan ge mig en liten spark på traven hade det uppskattas :)

 (f-1)'(-52)är ju hela uppgiften, eller hur? Om du menar bara f-1(-52)=z, då behöver du lösa f(z) = -52.

Ja precis, tror jag kan lösa uppgiften nu, stort tack :)

Cien 286
Postad: 14 okt 22:58 Redigerad: 14 okt 23:16

Om någon i framtiden stöter på samma problem börja med att derivera "cancel identity" för inversa funktioner dvs (1)f(f-1(x))=x(f-1)'(x)=1f'(f-1(x))f(f^{-1}(x))=x \Rightarrow (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} . Det enda vi egentligen behöver nu är derivatan av f(x) och att hitta värdet på f-1(x)f^{-1}(x) som vi behöver plugga in i derivatan av f(x) i (1). Så vi deriverar f(x), f'(x)=3x4+20x2+21(x2+3)2f'(x)=\frac{3x^4+20x^2+21}{(x^2+3)^2}. Nu saknas bara f-1(x)f^{-1}(x),

Vi sätter y=f-1(z) y=f^{-1}(z) & z=f(y)=3y3+7yy2+3=-52z=f(y)=\frac{3y^3+7y}{y^2+3} = -\frac{5}{2}

Vi får en tredjegradare och gissar nollställen, det visar sig att y=-1 är ett nollställe (obs vi har inverterat x->y)

Nu vet vi alltså att f-1(-52)=y=-1f^{-1}(-\frac{5}{2})=y=-1 och stoppar in det i (1) (f-1)'(x)(f^{-1})'(x)=1f'(-1)=1(-1)4+(-1)2+21((-1)2+3)2=411=\frac{1}{f'(-1)}=\frac{1}{\frac{(-1)^4+(-1)^2+21}{((-1)^2+3)^2}}=\frac{4}{11}

Svara Avbryt
Close