Bestäm ekvationen (Matematik/Matte 4)

På den här borde jag börja med ställa upp sambadet

y=A sin(kx+v)+d ?

Jag vet att jag har koordinaterna $p_{1} = (\frac{π}{8}, y) p_{2} = (\frac{3 π}{8}, y)$

Hur får man fram y värdet

Jag skulle börja med att markera lösningarna i enhetscirkeln

Det visar symmetrier, vilket kan ge bra ledtrådar till hur en ekvation kan se ut.

Här är en liknande uppgift, du kan pröva samma tillvägagångssätt.

Hittade denna bild från Internet

Du kan enkelt skapa en bild som visar de givna lösningsmängderna.

Rita en enhetscirkel runt origo i ett koordinatsystem. Tänk på att inte döpa koordinataxlarna till x och y eftersom x i denna uppgift avser en vinkel.

Markera de vinklar som gavs i uppgiften.

Visa din bild.

då döper jag väl de till sin(x) och cos(x)

Ja, det kan du göra.

Rita gärna för hand, det behöver inte vara så snygg cirkel eller exakta vinklar.

Det viktiga är att du ritar och visar.

Är det så här

Insåg att jag rita fel

pi/8 ser bra ut, men den andra vinkeln ska också börja från den högra horisontella axeln (x-axeln när den heter det) och gå motsols.

3pi/4 i den förra bilden har rätt radie markerad, men vinkeln till den vänstra axeln, som du har ritat, är inte 3pi/4.

Rätt klurig uppgift. Det finns en sak jag skulle göra med x₁ och x₂ för att göra dem mer åskådliga, men det känns antagligen som bara mysterium.

Arup skrev:
Insåg att jag rita fel

Det här behöver du nog öva på så stt det sitter ordentligt.

Jag visar hur jag menade.

1. Bilden visar på ett ungefär lösningen $x=\frac{\pi}{8}$

2. Bilden visar på ett ungefär lösningarna $x=\frac{\pi}{8}$ och $x=\frac{\pi}{8}+\pi$

3. Bilden visar på ett ungefär lösningen $x=\frac{3\pi}{8}$

4. . Bilden visar på ett ungefär lösningarna $x=\frac{3\pi}{8}$ och $x=\frac{3\pi}{8}+\pi$

5. . Bilden visar på ett ungefär alla de givna lösningarna

Är det något/några av ovanstående påståenden som du vill att vi förklarar närmare?

Nej, jag tror jag mpste bara öva för att bli van.

Konstigt nog förklaras det här inte djupt i min matte bok

Ska jag utgå från bild 5 när jag löser problemet ?

Arup skrev:
Nej, jag tror jag mpste bara öva för att bli van.

Ja, det är bara att kämpa på. Om du vill kan vi ge dig övningsuppgifter i form av vinklar som du får illustrera i enhetscirkeln. Skapa då en ny tråd för just det ändamålet.

Konstigt nog förklaras det här inte djupt i min matte bok

Ja, det är jättekonstigt.

Det borde stå hur man illustrerar en vinkel I enhetscirkeln.

Arup skrev:
Ska jag utgå från bild 5 när jag löser problemet ?

Ja, men för att hitta en bra väg att gå vidare så behöver vi utnyttja en symmetri bland lösningarna I bild 5. Ser du den?

Är det så här

Ja, snyggt!

Tänk om hela alltet vore vridet medurs en bit, då skulle lösningarna se ut ungefär så här:

Tror du att du då skulle kunna ta fram en ekvation som ger dessa lösningar?

Bordd jag rita en rätvinklig triangel med hypotenusan 1 ?

Jag lite osäker på hur man kan få fram ekvationen ?

Börja med att bara titta på högra halvplanet, dvs att lösningarna är $x=\pm\frac{\pi}{8}+n\cdot2\pi$ .

Känner du igen det från någon trigonometrisk ekvation?

Arup skrev:
Bordd jag rita en rätvinklig triangel med hypotenusan 1 ?

Ja, det kan du göra.

Yngve skrev:
Börja med att bara titta på högra halvplanet, dvs att lösningarna är $x=\pm\frac{\pi}{8}+n\cdot2\pi$ .

Känner du igen det från någon trigonometrisk ekvation?

Nej

Yngve skrev:
Arup skrev:
Nej, jag tror jag mpste bara öva för att bli van.

Ja, det är bara att kämpa på. Om du vill kan vi ge dig övningsuppgifter i form av vinklar som du får illustrera i enhetscirkeln. Skapa då en ny tråd för just det ändamålet.

Konstigt nog förklaras det här inte djupt i min matte bok

Ja, det är jättekonstigt.

Det borde stå hur man illustrerar en vinkel I enhetscirkeln.

Ok, det gör jag

Jag tänker så hör

Bra. Om vi utgår från det så ser vi att en ekvation som skulle ge lösningarna $v=\pm\frac{\pi}{8}+n\cdot2\pi$ är $\cos(v)=a$ , eller hur?

Jag hänger inte riktigt med

Yngve skrev:
Bra. Om vi utgår från det så ser vi att en ekvation som skulle ge lösningarna $v=\pm\frac{\pi}{8}+n\cdot2\pi$ är $\cos(v)=a$ , eller hur?

Ja det stämmer !

Arup skrev:

Ja det stämmer !

OK bra.

Ser du även att $v = x-\frac{\pi}{4}$ ?

Nej

Arup skrev:
Nej

Bild 1 i svar #13 visar lösningen $x=\frac{\pi}{8}$ .

Om du subtraherar $\frac{\pi}{4}$ från den så får du $\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{8}$ vilket är en av lösningarna i lösningsmängden $v=\pm\frac{\pi}{8}+n\cdot2\pi$ .

======

Bild 3 i svar #13 visar lösningen $x=\frac{3\pi}{8}$ .

Om du subtraherar $\frac{\pi}{4}$ från den så får du $\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$ vilket är en av lösningarna i lösningsmängden $v=\pm\frac{\pi}{8}+n\cdot2\pi$ .

Är du med på det?

ja

Jag gjorde problemet på livehjälpen med en volontär.

Kom fram till det här

Snyggt!

Det var en enklare lösning än det spåret jag var inne på.

Yngve skrev:
Snyggt!

Det var en enklare lösning än det spåret jag var inne på.

Skulle du kunna visa ditt sätt ?

Arup skrev:

Skulle du kunna visa ditt sätt ?

Jag skulle rita upp lösningsmängderna, konstatera både symmetrin och att perioden är $\pi$ .

Därefter skulle jag ansätta ekvationen $\cos(2x+w)=a$ .

Denna ekvation har lösningarna

$2x+w=\pm\arccos(a)+n\cdot2\pi$

Om jag jämför detta med de givna lösningarna får jag

$2\cdot\frac{\pi}{8}+w=-\arccos(a)$

$2\cdot\frac{3\pi}{8}+w=\arccos(a)$

Om jag adderar dessa två ekvationer får jag

$\pi+2w=0$ , dvs $w=-\frac{\pi}{2}$

Om jag nu sätter in detta värde i någon av de ovanstående ekvationerna får jag

$2\cdot\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{2}=\arccos(a)$

$\frac{\pi}{4}=\arccos(a)$

$a=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Sammantaget ger detta ekvationen $\cos(2x-\frac{\pi}{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}$