Bestäm en delgrupp H till gruppen (diskret matematik)

Du kan se att båda dina alternativ är fel eftersom de inte innehåller identiten. Notera istället att två är ett primtal så en grupp av ordning 2 är cyklisk. Du kan därför leta efter ett element av ordning 2 som då kommer generera gruppen.

parveln skrev:

Du kan se att båda dina alternativ är fel eftersom de inte innehåller identiten. Notera istället att två är ett primtal så en grupp av ordning 2 är cyklisk. Du kan därför leta efter ett element av ordning 2 som då kommer generera gruppen.

jag måste nog läsa på lite mer känner jag

Enhetselementet är alltid med, och så ska vi ha ett element till. Elementet multiplicerat med sig självt ska vara med. Ett sådant element är 6, för 6*6 = 1 (modulo 7). Delgruppen är alltså {1, 6}.

Det är ungefär det parveln sa, men med andra ord.

Låt $G$ vara en grupp med gruppoperation $\star$ och identitetselement $e$. En delmängd $H\subseteq G$ sägs då vara en delgrupp om följande gäller:

(a) $e\in H$ [dvs. identitetselementet tillhör $H$]

(b) $h_1\star h_2\in H$ för alla $h_1,h_2\in H$ [dvs. $H$ är sluten under gruppoperationen]

(c) $h^{-1}\in H$ för alla $h\in H$ [dvs. $H$ är sluten under inversion].

I det här fallet utgörs vår grupp av mängden

   $\displaystyle G=(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\setminus\{[0]\}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]\}$

(där hakparenteserna står för kongruensklasser mod 7), med multiplikation som gruppoperation, och $[1]$ som identitetselement.

Frågan vi ställer oss är om $H=\{[3],[4]\}$ är en delgrupp.

Svaret är nej. Tvärtom visar det sig att vårt stackars exempel $H$ misslyckas med samtliga av kriterierna för att vara en delgrupp!

Kriterium (a) fallerar eftersom $[3]\neq [1]$ och $[4]\neq [1]$, så $[1]\not\in H$.

För att se att (b) fallerar kan vi ta $h_1=[3]$ och $h_2=[4]$, och notera att $[3]\cdot [4]=[12]=[5]\not\in H$. 

För att se att (c) fallerar kan vi ta $h=[3]$, påminna oss om att $h^{-1}=[5]$ (går att komma fram till genom att prova sig fram), och sedan notera att $[5]\not\in H$.

Ett annat förslag som har dykt upp i tråden är $H=\{[1],[6]\}$. Testa att systematiskt gå igenom kriterierna (a), (b) och (c), och se om detta nya $H$ uppfyller dem!

Bonusfråga: Finns det någon annan delgrupp i $\displaystyle (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\setminus\{[0]\}$ med två stycken element i sig? Om ja: kan du ge ett exempel? Om nej: varför inte?