Bestäm för varje värde på konstanten a alla lösningar till ekvationssystemet

Är du bekant med determinanter?

Tag den enklaste först; om $a=1$ är samtliga 3 ekvationer identiska och ekvationssystemet är underbestämt. Då får du fallet med $y=s$ och $z=t$. Beräkna vad $x$ är.

Antag sedan att $a\neq1$ och lös ekvationssystemet allmänt. Du kommer att få en lösning med $1+2a$ i nämnaren som visar att $a=-1/2$ är ett "problematiskt" värde. Lös ekvationssystemet för $a\neq-1/2$ och $a=-1/2$.

Jag känner till determinanten.

Jag skulle vilja beräkna det(A), alltså determinanten för koefficientmatrisen A, och se för vilket värde på a som determinanten blir noll.

När determinanten är noll finns ingen eller oändligt antal lösningar.

Men jag behöver också titta på den unika lösningen, vilken också troligen ska finnas. Det är fallet då determinanten är nollskild.

Med determinanter har vi ett bra verktyg för lösbarhetsfrågor.

Om detta ej är bekant, föreslår jag en Gausseliminering.

Annars: Lös ekvationen det(A)=0.

Hej Trinity2!

Då tror jag att parameterlösningen är att 

$x=1-s-t.$

Trinity2 skrev:

 

Antag sedan att $a\neq1$ och lös ekvationssystemet allmänt. Du kommer att få en lösning med $1+2a$ i nämnaren som visar att $a=-1/2$ är ett "problematiskt" värde. Lös ekvationssystemet för $a\neq-1/2$ och $a=-1/2$.

Hur ska jag kunna lösa ekvationssystemet allmänt genom att bara anta att a är skilt från 1? Ska jag bara låta a stå som det är?

Jag har vidare beräknat att när a = 1 så är det(A) = 0. När det(A) = 0 har vi en parameterlösning och det finns inget värde på a som gör att ekvationssystemet saknar lösning.

Tycker ni att detta verkar stämma?

Då ska jag försöka beräkna den entydiga lösningen $X=A^{-1}B.$ Men hur? Ledtrådar?

Kanske låta alla a stå kvar i koefficientmatrisen A och beräkna inversen på den?

Eller det kanske räcker att få totalmatrisen på trappstegsform?

Kanelbullen skrev:

Trinity2 skrev:

 

Antag sedan att $a\neq1$ och lös ekvationssystemet allmänt. Du kommer att få en lösning med $1+2a$ i nämnaren som visar att $a=-1/2$ är ett "problematiskt" värde. Lös ekvationssystemet för $a\neq-1/2$ och $a=-1/2$.

Hur ska jag kunna lösa ekvationssystemet allmänt genom att bara anta att a är skilt från 1? Ska jag bara låta a stå som det är?

Jag har vidare beräknat att när a = 1 så är det(A) = 0. När det(A) = 0 har vi en parameterlösning och det finns inget värde på a som gör att ekvationssystemet saknar lösning.

Tycker ni att detta verkar stämma?

Då ska jag försöka beräkna den entydiga lösningen $X=A^{-1}B.$ Men hur? Ledtrådar?

Kanske låta alla a stå kvar i koefficientmatrisen A och beräkna inversen på den?

Eller det kanske räcker att få totalmatrisen på trappstegsform?

Multiplicera första ekvationen med $-a$ och addera ekv. osv. 

Du får till slut lösningen $x=y=z=1/(1+2a)$.

Skulle du Trinity2, eller någon annan vänlig person, vilja visa mig hur ni utför Gauss Jordan eliminationen för att få x=y=z=1/1+2a?

Jag har försökt lite men vet inte om jag gjort rätt. Det blir snabbt väldigt komplicerat, tycker jag.

Trinity2 skrev:

Tag den enklaste först; om $a=1$ är samtliga 3 ekvationer identiska och ekvationssystemet är underbestämt. Då får du fallet med $y=s$ och $z=t$. Beräkna vad $x$ är.

Stämmer det att när a=1, så är y=s, z=t och x=1-s-t?

Så här har jag fått fram det:

Vidare, ekvationssystemet saknar lösningar när a=-1/2.

När determinanten är noll kan vi ha fallet att vi har oändligt antal lösningar eller inga lösningar.

Med förbehåll för ev. fel, fick jag följande Gusseliminering:

M a o saknas lösning då $a=\pm 1$.

För $a\neq \pm 1$, får vi "nollrad", dvs oändligt många lösningar, om $a=-1/2$. (Faktorisera täljaren i VL)

Anm När jag löser det(A)=0 får jag a=-1/2, a=1. Här finns alltså inte a=-1.

Tack! Men jag får ändå ingen rätsida på detta.

När jag lägger in matrisen med a=-0,5 i räknaren och slår på Rref så får jag totalmatrisen på trappstegsform och då ser den ut så här:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$.

Den sista raden skulle jag tolka som att det inte finns några lösningar när a=-1/2.

Och jag undrar: Tycker ni inte att för a=1 så finns oändligt många lösningar och att vi då har att x=1-s-t. Har jag gjort totalt fel där?

Jo, precis. Stoppar vi in a=-1/2 i systemet, leder detta till ett system, som saknar lösningar. Så även om jag litar mer på handräkningar än på miniräknare, så  tolkar du din miniräknare helt korrekt.

För a=1 så har du alldeles rätt:

$\left\{\begin{array}{rl}x&=1-s-t\\y&=s\\z&=t\end{array}\right.$, dvs oändligt många lösningar.

För a=-1 saknar systemet lösning, enligt mina kalkyler.

Okej :-) Tack. Då var det bara den entydiga lösningen kvar!

När $a\ne 1...$

Då tänker jag att du kan nyttja min Gausseliminering,

för att lösa ut z till att börja med. Därefter går du uppåt i trappstegsmatrisen, för att lösa ut y för känt z, och till sist löser du ut x för känt y och z.