Bestäm funktionens integral

Att integralens värde är lika med arean av området under grafen gäller endast då hela grafen ligger ovanför x-axeln.

I exemplet ligger en del av grafen under x-axeln och den delen ger då ett negativt tillskott till integralens värde.

Det betyder också att du kan bestämma integralens värde med hjälp av areaberäkning, men då måste du subtrahera arean under x-axeln från arean ovanför x-axeln

Vad säger analysens fundamentalsats?

Tillägg: 13 maj 2023 10:40

Läste inte frågan ordentligt, sorry.

Yngve skrev:

Att integralens värde är lika med arean av området under grafen gäller endast då hela grafen ligger ovanför x-axeln.

I exemplet ligger en del av grafen under x-axeln och den delen ger då ett negativt tillskott till integralens värde.

Jahaa, okej då förstår jag!!

Det betyder också att du kan bestämma integralens värde med hjälp av areaberäkning, men då måste du subtrahera arean under x-axeln från arean ovanför x-axeln

Arean under grafen blev 7,5 a.e. och arean över grafen blev 4,5 a.e. 7,5 - 4,5 blir ju 3 och inte 4 som är det korrekta svaret…Vad är det som har blivit fel?

karisma skrev:

Arean under grafen blev 7,5 a.e. och arean över grafen blev 4,5 a.e. 7,5 - 4,5 blir ju 3 och inte 4 som är det korrekta svaret…Vad är det som har blivit fel?

Din utrökning stämmer inte. Visa hur du tänkte/räknade.

Yngve skrev:

karisma skrev:

Arean under grafen blev 7,5 a.e. och arean över grafen blev 4,5 a.e. 7,5 - 4,5 blir ju 3 och inte 4 som är det korrekta svaret…Vad är det som har blivit fel?

Din utrökning stämmer inte. Visa hur du tänkte/räknade.

Det lila är arean över x-axeln och det gula arean under x-axeln. Jag räknade antalet ”rutor” över x-axeln som blev 4,5 och antalet under som blev 7,5.

OK då förstår jag.

Området ovanför x-axeln är rätt, men området under x-axeln är den lilla triangeln till vänster, från x = -2 till x = -1, se bild.

Yngve skrev:

OK då förstår jag.

Området ovanför x-axeln är rätt, men området under x-axeln är den lilla triangeln till vänster, från x = -2 till x = -1.

Aha okej, men varför då? Varför ska jag inte beräkna resten av arean under x-axeln?

Integralen är området mellan x-axeln och kurvan.

Om du tänker att du ska beräkna resten av området under x-axeln, varför stannar du då vid y = -2?

Och varför gör du inte på samma sätt med området ovanför x-axeln, dvs varför beräknar du inte areorna av följande oändligt stora områden?

Yngve skrev:

Om du tänker att du ska beräkna resten av området under x-axeln, varför stannar du då vid y = -2?

För att det området är under grafen vilket resten av området inte är.

Och varför gör du inte på samma sätt med området ovanför x-axeln, dvs varför beräknar du inte areorna av följande oändligt stora områden?

För de tillhör ju inte området under grafen så det blir ju helt fel 

naytte skrev:

Integralen är området mellan x-axeln och kurvan.

Tack, då förstår jag!

karisma skrev:

För att det området är under grafen vilket resten av området inte är.

Men varför stannar du vid y = -2? Varför fortsätter du inte ner till y = -3? Eller y = -100 000 000?

För de tillhör ju inte området under grafen så det blir ju helt fel 

Mitt röda område tillhör området ovanför grafen lika lite som ditt gula område tillhör området under grafen.

Yngve skrev:

Att integralens värde är lika med arean av området under grafen gäller endast då hela grafen ligger ovanför x-axeln.

I exemplet ligger en del av grafen under x-axeln och den delen ger då ett negativt tillskott till integralens värde.

Det betyder också att du kan bestämma integralens värde med hjälp av areaberäkning, men då måste du subtrahera arean under x-axeln från arean ovanför x-axeln

Ja, men om man ska beräkna via areaberäkning behöver man först funktionen $f(x)$. I grafen ovan är det dess primitiva funktion, $F(x)$, som visas.

tomast80 skrev:

Ja, men om man ska beräkna via areaberäkning behöver man först funktionen $f(x)$. I grafen ovan är det dess primitiva funktion, $F(x)$, som visas.

Ja titta!

Där läste jag uppgiften slarvigt.

Då var det ju inte areaberäkning som skulle användas utan istället sambandet $\int_{a}^{b}f(x)\operatorname dx=F(b)-F(a)$, där $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$.