Bestäm gränsvärdet

Beteckna nämnare som $p(x)$ och täljare som $q(x)$. För polynomfunktioner kan man då tänka bort alla termer med grad mindre än $\deg p(x)$ och $\deg q(x)$. I vårt fall:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x-3x^2}{2x^2+x}=\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2}{2x^2}=-\frac{3}{2}$

Du kan bevisa detta med gränsvärdets definition om du så vill.

Intuitivt kan du tänka att om du stoppar in en oändlighet, kalla den $\omega$, har vi:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x-3x^2}{2x^2+x}\approx \frac{\omega-3\omega^2}{2\omega^2+\omega}=\frac{\omega}{2\omega^2+\omega}-\frac{3\omega^2}{2\omega^2+\omega}$

Den första termen kommer vara oändligt nära noll (nämnaren är oändligt mycket större än täljaren) och den andra termen kommer vara oändligt nära -3/2 (nämnare och täljare är oändligt nära varandra).

Det här sättet att tänka på ger de flesta matematiker här på forumet antagligen en hjärtattack men jag gillar sådana resonemang, i sann 1700-tals anda! :)

Jag tänkte dock också att då x går mot oändligheten blir -3x oändligt stor fast "negativt stor" vilket gör att 1 blir mycket mycket större än -3x, därför kan "-3x" räknas bort. 2x blir däremot oändligt stort vilket gör att 1:an i nämnaren kan räknas bort, men då har vi en bakelse som jag inte vet stämmer eller inte. 

Ingen hjärtattack, men jag föredrar nog metoden att förkorta med täljarens "ledande exponent".

Vi kan då börja med att titta på själva bråket så spar vi en massa skrivande..Typ så här:

$\frac{x-3x^2}{2x^2+x}=$ (täljarens ledande exponent är x²) $=\frac{\frac{x}{x^2}-\frac{3x^2}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}}=\frac{\frac{1}{x}-3}{2+\frac{1}{x}}$

Om vi nu låter $x\rightarrow\infty$ så går termerna $\frac{1}{x}$ i både täljare och nämnare mot 0 och bråkets värde går då mot -3/2.

Givetvis också helt OK!

Om man vill slippa att göra algebra kan man antingen hänvisa till att det alltid blir så (att de termer med grad under den högsta inte spelar roll) som ett känt resultat, eller helt enkelt bevisa det med gränsvärdets definition. Det kan vara en bra övning (om ni har pratat om gränsvärdets definition överhuvudtaget)!

Går det alltså bra att göra så som jag föreslog i #3? :D Om ja, hur fortsätter jag beräkningen? 

(Hänger fullständigt med på lösningen med division med x²!) 

Jag förstår inte vad du menar i #3. Varför skulle du kunna "tänka bort" termen $-3x^2$ bara för att den går mot negativa oändligheten?

Jag märker nu att det är fel att tänka så. Den blir oändligt stor fast åt det negativa hållet, inte oädnligt liten. Men jag håller mig till facits lösning (och era, de lät samma!), tack för hjälpen! 

Den blir oändligt stor fast åt det negativa hållet, inte oädnligt liten

Den blir oändligt liten i bemärkelsen att den går mot negativa oändligheten, men den går som du själv påpekar inte mot noll!