Bestäm marginaltäthetsfunktion m.m.

Chill uppgift. Känner igen den... kanske detta kan hjälpa: 

https://www.pluggakuten.se/trad/forsoker-bygga-grafisk-forstaelse-for-marginaltathetsfunktionerna/ 

Du har rätt i att det är 0 och 1 som är gränserna. Men låt oss backa ett steg för att komma fram till det. 

Först måste vi se till att din täthetsfunktion är korrekt definerad: det kan säkert stämma att den har det konstanta värdet $4/(4+\pi)$, men detta gäller ju bara om $(x,y)\in A$. Utanför detta område har den värde 0.

Nu när vi har definierat täthetsfunktionen över hela $\mathbb{R}^2$ kan vi hitta marginaltötjetsfunktionen. Du har rätt i att man integrerar ut x. Generellt är det

$\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dx$, alltså, du integrerar över hela domänen. Men, eftersom $f_{X,Y}(x,y)$ är 0 när x är mindre än 0 eller större än 1 så reduceras integralen till en integral mellan 0 pch 1 av den konstanta funktionen $4/(4+\pi)$

Ah, då är jag med!

Däremot är jag faktiskt inte riktigt säker på varför den likformiga fördelningen innebär att den gemensamma täthetsfunktionen har (inom $A$) värdet:

$\displaystyle f_{X,Y}\left(x,y\right)=\frac{4}{4+\pi}$

Jag gick mest på "vibes", det kändes rimligt. Jag vet att för ett diskret sannolikhetsmått $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$ så ges det likformiga sannolikhetsmåttet av:

$\displaystyle \mathbb{P}\left(A\right) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

där $\Omega$ är utfallsrummet.

Finns det någon koppling här?

Att sannolikheten är likformig över hela A innebär att dess täthetsfunktion är konstant $f_{X,Y}(x,y)=c$. Den totala sannolikheten för en täthetsfunktion ska per definition bli 1 alltså

$\displaystyle 1=\iint_Af_{X,Y}\left( x,y \right) dxdy=c\iint_Adxdy=c*|A|$

vilket ger sambandet. Mer än så kan jag inte bidra. 

Tillägg: 17 maj 2025 15:35

Snyggt absolutbelopp det blev. 

Ja men okej, det kan jag köpa som motivering. Det räcker gott och väl!

För övrigt kan du få dina belopp (och paranteser) att se bättre ut genom att använda controlsequencen \left \right, alltså t.ex. \left[ ...\right].

Ska försöka få till det med marginaltäthetsfunktionerna och återkomma.

Här är ett försök:

Vi börjar med att konstatera att den gemensamma täthetsfunktionen $f_{X,Y}$ ges av:

$\displaystyle f_{X,Y}{(x,y)}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{4}{4+\pi}&\text{om }(x,y)\in A\\ 0 &\text{annars}\end{array}\right.$

I så fall har vi för marginaltäthetsfunktionen för $Y$:

$\displaystyle f_Y\left(y\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\frac{4}{4+\pi}\mathrm{d}x=\frac{4}{4+\pi}$

Några frågor hittills:

• Är detta rätt?
• Vad är i så fall tolkningen av $f_{Y}$? Det verkar ju som att denna täthetsfunktion inte beror av $x$ på något sätt vilket verkar märkligt eftersom de möjliga värdena på $y$ beror på vårt $x$.

Ah jag har nog varit lite ute och cyklat här, någon annan kanske hinner hjälpa innan. Men återigen måste man specificera var denna täthetsfunktion gäller.

Men vi kanske kan lösa detta tillsammans. Vi kan börja att konstatera att marginaltätheten är 0 när y är mindre än -1 och större än 0.

Sedan när vi integrerar kan vi inte integrera mellan 0 och 1. Utan gränsen för x borde bero på y, iom att täthetsfunktionen är ju inte nollskilld för x mellan 0 och 1 och godtyckligt värde på y mellan -1 och 0: ibland kommer den ju vara 0 även i denna region. Så, kan du skriva om gränserna för x att bero på y? 

Jag hänger inte riktigt med. Jag förstår att det finns värden $y$ som ligger på den "vertikala linjen" $X=x$ men där $(x,y)$ inte ingår i $A$, och om jag förstår det rätt så är det detta som är vårt problem.

Jag tänker mig något i stil med (om vi bara bryr oss om det cirkulära området till att börja med):

$\displaystyle f_Y\left(y\right)=\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x$

Och sedan något liknande för $f_X(x)$. Men nu får vi ju två marginaltäthetsfunktioner som "beror på varandra" men det blir väl konstigt eftersom $x$ borde kunna väljas fritt på linjen $y=0$.

Men bara så att jag förstår det rätt, visst är tolkningen av "$f_Y(y)$" sådan att:

$\displaystyle \mathbb{P}\left(a\le Y\le b\right) = \int_{a}^{b}f_Y\left(y\right)\mathrm{d}y$

Okej, inser att jag dessutom tänkt på A väldigt slarvigt. Jag provar denna förklaring:

Vi ska beräkna integralen $\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dx$ för alla möjliga värden på y. Vi måste falluppdela.

Det första fallet är enkelt: om y ej ingår i A kommer täthetsfunktionen bli 0 (oavsett x), och integralen blir 0.

Om y nu ingår i A får vi istället titta på vad som händer med x:

Om y är mellan -1 och 0 kommer täthetsfunktionen vara nollskild för x mellan 0 och 1. Därför reduceras integralen till integration mellan 0 och 1. 

Om y däremot är mellan 0 och 1 kommer täthetsfunktionen vara nollskild för x mellan 0 och $\sqrt{1-y^2}$, och detta blir då våra integrationsgränser.

Det borde täcka alla fall, och man har alltså  tre fall för $f_Y(y)$.

Jag är inte riktigt med på vad du menar med att de ”beror på varandra”. 

Att det är en ”marginaltäthetsfunktion” gör inte att den har andra egenskaper än en täthetsfunktion du sett tidigare, så tolkningen av sannolikheten är korrekt. Det innebär också att du kan göra en kontroll på din lösning: om du integrerar över alla värden på y (eller x, beroende på vilken täthetsfunktion du jobbar med), blir resultatet 1? 

Okej, jag tror jag är med nu efter att ha ritat en tydlig bild av området. Vi integrerar först över rektangeln mellan $y=-1$ och $y=0$:

$\displaystyle f_Y\left(-1\le y\le 0\right)=\int_{0}^{1}f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\frac{4}{4+\pi}$

$\displaystyle f_Y\left(0\le y\le 1\right)=\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-y^2}$

Så sammantaget:

$\displaystyle f_{Y}\left(y\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-y^2}&\text{om }0\le y\le 1\\ \frac{4}{4+\pi} &\text{om} -1\le y\le 0\end{array}\right.$

?

Tillägg: 18 maj 2025 00:52

Nej, nu har det nog blivit fel igen... Jag tror jag måste studera lite mer elementära exempel för att begripa det här ordentligt. I det diskreta fallet förstår jag vad som händer men för kontinuerliga SV blir det lite skummare...

Jo jag tror det är korrekt? Vad menar du är fel? Det saknas väl det tredje fallet att täthetsfunktionen är 0 när y är mindre än -1 och större än 1. 

Hmm.

Tror bara att jag inte förstår vad jag har beräknat. Jag har försökt fundera på detta på ett lite annorlunda sätt och jag tror att jag föredrar detta (även om jag inte får ihop det än).

I det diskreta fallet för två slumpvariabler $A,B$ med gemensam massfördelningsfunktion $p_{A,B}(a,b)$ där $0\le a,b\le 3$ erhålls marginaltäthetsfunktionen för $A$ genom:

$p_A(a) = \sum_{b}p_{A,B}(a,b)$

Så om vi undrar "vad är sannolikheten att $a=1$, då kör vi helt enkelt:

$p_A(1) = \sum_{b}p_{A,B}(1,b)=p_{A,B}(1,0) + p_{A,B}(1,1) + p_{A,B}(1,2) + p_{A,B}(1,3)$

Jag tolkar detta intuitivt som "vad är sannolikheten att A=1 givet att vi har något B överhuvudtaget".

Om man börjar fundera på lite konstiga objekt som oändligheter kan man kanske göra samma sak i det kontinuerliga fallet. Säg att vi i vår situation undrar "vad är sannolikhetstätheten $f_Y(1/2)$?". Jag tänker att den kontinuerliga analogen bör vara något i stil med:

$\displaystyle f_{Y}\left(\frac 1 2\right)\approx\sum_{k=0}^{\omega}f_{X,Y}\left(x_k, 1/2\right)$

där $\omega$ är någon "oändlighet" och $x_k$ är någon partion av $\left[0, \sqrt{1-y^2} \;\right]$ sådan att två på varandra följande element bara har infinitesimal skillnad.

Problemet här är att vi saknar någon infinitesimal $\Delta x$ ihopgångrad med hela summanden. Hade vi haft det hade vi kunnat se det som en integral istället.

Tillägg: 18 maj 2025 02:18

Börjar bli lätt irriterad på att det finns så himla lite om intuitionen bakom detta på nätet. Jag har letat och letat och alla säger något i stil med "integrering är den kontinuerliga analogen till att summera, så därför är det minsann trivialt varför man ska integrera på det här sättet..."

Börjar bli trött också så det hjälper inte heller.

Tror det är bättre att tänka på sannolikheter även i det kontinuerliga fallet.

Vi har redan konstaterat att sannolikheten att en variabel är i intervallet a till b är integralen mellan a och b av täthetsfunktionen. I flervariabelfallet generaliseras det till att sannolikheten att (x,y) är i ett området D bli (dubbel)integralen av täthetsfunktionen över D. Om vi, säg, inte bryr oss om vad x är (dvs, det kan vara vad som helst), vi är bara intresserade av sannolikheten att y är i intervallet a till b. Hur beskriver du D i detta fall? Om du skriver ned den resulterande integralen och jämför med motsvarande integral i envariabel-fallet, kan du se likheter?

Vi vet alltså att:

$\displaystyle P\left(\left(x,y\right)\in D\subseteq A\right)=\iint_D f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

Så om vi skulle integrera över endast "cirkelskivan", då hade vi kunnat beräkna detta som:

$\displaystyle P\left(\left(x,y\right)\in D\subseteq A\right)=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x$

Men låt säga att vi istället försöker beräkna:

$\displaystyle P((x,a)\in D\subseteq A)$, där $a$ är någon konstant. Då skulle man kanske istället kunna ställa upp gränserna:

$\displaystyle P\left(\left(x,a\right)\in D\subseteq A\right)=\int_{a}^{a}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-a^2}}f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

Men detta ger ju tyvärr noll i slutändan (för att sannolikheten att punkten ligger exakt på en linje är noll?). Kanske hade man istället kunna välja att skapa ett infinitesimalt band runt $y=a$, alltså låta $y\in [a-\varepsilon, a+\varepsilon]$?

Hur som helst tror jag att jag börja göra några konceptuella framsteg här...

Nja nu har det nog blivit lite omvänt. Du ska inte byta ut (x,y) mot (x,a). Det är fortfarande y och y som är variablerna. Fortsätt låt y vara inom ett intervall a och b, och vi bryr oss inte om vad x är: borde inte D då bli området $\{(x,y): a\leq y \leq b, \ -\infty \leq x \leq \infty\}$? (Ja jag inkluderade oändligheterna, men jag är inte såååå hårt matematiskt skolad så jag bryter väl lagen här) Alltså, vi är bara intresserade av sannolikheten att y är mellan a och b, och x kan vara exakt vad som helst. Då skriver jag

$\mathbb{P}(a\leq y\leq b) = \mathbb{P}((x,y) \in D) = \int \int_D f_{X,Y}(x,y) dx dy = \int_a^b \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx dy$

och om du då jämför det med 

$\mathbb{P}(a\leq y\leq b) \int_a^b f_Y(y)dy,$

kan vi identifiera marginaltätheten nu?

Jag tror vi tänker identiskt!

Jag försökte ställa upp en sannolikhet $\mathbb{P}\left( a\le y\le a\right)$, och denna blev mycket riktigt noll eftersom sannolikheten att man ligger på ett särskilt $y$-värde är noll.

Men om vi istället för $0\le a \le 1$ och $\varepsilon >0$ ställer upp det som $\mathbb{P}\left( a-\varepsilon\le y\le a+\varepsilon\right)$ får vi:

$\mathbb{P}\left(a-\varepsilon\le y\le a+\varepsilon\right)=\mathbb{P}((x,y)\in D\subseteq A: a-\varepsilon\le y\le a+\varepsilon, -\infty\le x \le \infty)$

$\displaystyle = \int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=\int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}\mathrm{d}y\frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-y^2}$

Enligt medelvärdessatsen för integraler finns det något $\xi\in[a-\varepsilon,a+\varepsilon]$ sådant att:

$\displaystyle \int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}\mathrm{d}y\frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-y^2}=2\varepsilon\frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-\xi^2}$

Vi har alltså för något $\xi$:

$\displaystyle \mathbb{P}\left(a-\varepsilon\le y\le a+\varepsilon\right)=2\varepsilon\frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-\xi^2}$

Om vi delar med $2\varepsilon$ och låter $\varepsilon \to 0$ erhåller vi:

$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\mathbb{P}(a-\varepsilon\le y\le a+\varepsilon)}{2\varepsilon}=\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-\xi^2}=\frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-a^2}$

Och det är ju precis detta som:

$\displaystyle f_Y(a)$

ska vara på cirkelskivan!

Exakt vad jag har kommit fram till här vet jag inte, men det känns lovande.

Tillägg: 18 maj 2025 19:58

Men ja, jag kan ur ditt exempel identifiera marginaltätheten för $Y$ som integralen över $X$, vilket motiverar varför $f_Y$ erhålls genom att "integrera bort" $X$.

Men vad i hela friden är det jag har gjort här? Jag har ju också kommit fram till $f_Y$ men som ett gränsvärde av en sannolikhet??

Jag följer tyvärr inte riktigt vad som sker, blir extra förvirrad av att du har ett gränsvärde av ett uttryck som inte beror på $\epsilon$, och sen dyker helt plötsligt a upp från, vad jag kan se, ingenstans? Eller missar jag något? 

$\xi$ ligger ju enligt medelvärdessatsen för integraler i intervallet $[a-\varepsilon, a+\varepsilon]$ så om $\varepsilon \to 0$ måste väl $\xi \to a$? Det var så jag resonerade i alla fall.

Tillägg: 18 maj 2025 22:14

Men som sagt förstår jag inte ens riktigt vad jag har kommit fram till. Jag bara råkade se att om man körde medelvärdessatsen på det uttrycket så skulle "rätt" sak falla ut.

Jag förstår hur du tänker, men tyckte det såg konstigt ut att något som inte alls (explicit) beror på $\epsilon$ helt plötsligt blir något annat när man tar ett gränsvärde, men det är kanske pga just sådana implicita grejer. Men jag kan ej säga om det är korrekt, och om man kan skriva det annorlunda för att göra det lite mer matematiskt tydligt eller om det räcker som motivering.

Men i alla fall: täthetsfunktionen är ju (i princip, åtminstone i en grundläggande sannolikhetskurs för ingenjörer i Sverige) derivatan av fördelningsfunktionen, och det du gjort känns ju väldigt nära en derivata? Men känns dock omständigt att lösa på det sättet varje gång hehe. Idk, jag är väl inte tillräckligt matematiskt kunnig och nöjer mig med förklaringen att vi kan identifiera marginaltäthetsfunktionen på det sättet jag beskrev. Jag chansar här och hoppas på att inte göra bort mig alltför mycket. Men om vi istället tar derivata-approachen kan man kan kanske definera $D=\{(x', y'): -\infty \leq y' \leq y, -\infty \leq x' \leq \infty\}$ och beräknar$F_Y(y) = \mathbb{P }((x', y') \in D) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x',y')dx'dy'$ och jag vill säga att derivatan nu följer av analysens fundamentalsats men jag vet inte, kanske att den där undre gränsen som är minus oändligheten ställer till det. 

Får se om någon annan kanske kan inflika just där, men jag är med på din förklaring om varför:

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}\left(x,y\right)\mathrm{d}x$

måste motsvara täthetsfunktionen för $Y$!

Så vi har alltså:

$\displaystyle \displaystyle f_{Y}\left(y\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{4}{4+\pi}\sqrt{1-y^2}&\text{om }0\le y\le 1\\ \frac{4}{4+\pi} &\text{om} -1\le y\le 0\end{array}\right.$

$\displaystyle \displaystyle f_{X}\left(x\right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{4}{4+\pi}\mathrm{d}y=\int_{-1}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{4}{4+\pi}\mathrm{d}y=\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)\frac{4}{4+\pi}$

?

Tillägg: 19 maj 2025 14:45

Om man bortser från de fall då vi ligger utanför $A$ och tätheten är noll.

Ja det ser väl rätt ut, förutom att du skrivit den först integranden i $f_X(x)$ som $4/(4+\pi)$. Det är korrekt i andra steget iom att du ändrat gränserna, men i första steget måste du skriva $f_{X,Y}(x,y)$.

Du kan också i både y- och y-fallet skriva ut ett ytterligare fall ”0 annars”. Vissa kanske skulle ta det som implicit, men personligen tycker jag det är bra att skriva ut allt så man själv inte glömmer bort det

Okej, då är jag med!

Nu är det ju endast den sista deluppgiften kvar...

Hur ska man tolka väntevärdet i detta sammanhang? "Det genomsnittliga värdet på $X$ man erhåller då $Y=y$"? 

 Kanske framgick men ett litet förtydligande: anledning till att du byter gränser är ju för att $f_{X,Y}(x,y)=0$ utanför gränserna. Det är därför du måste skriva täthetsfunktionen i första steget, den är ju olika beroende på vilket värdet på x. 

I alla fall, ja väntevärdet får man tolka som du säger. Givet att vi vet att värdet på Y är y, vad är det genomsnittliga värdet (väntevärdet) av X?

Nu kanske jag tänker helt knasigt, men kan man tänka att väntevärdet $\mathbb{E}[X \;\text{givet}\; Y=y]$ kan ges på något sätt av $f_X(x)$ (eller något i den stilen)? Täthetsfunktionen för $X$ är ju sådan att den ger tätheten för $X$ när $Y$ kan vara vad som helst.

Ja du är på rätt spår skulle jag säga. Du minns kanske att generellt gäller att $E[X]=\int x f_X(x)dx$? Nu är det istället X givet y, så det kan vi skriva som $E[X|Y=y’] =\int x f_{X|Y}(x,y’)dx$. Alltså, helt analogt till det vanliga väntevärdet men du byter ut (marginal)täthetsfunktionen mot den betingade täthetsfunktionen. Hur får man fram denna? Jag ska använda det här argumentet du inte gillar: hur skulle du räknat ut en betingad sannolikhetsfunktion? Gör samma men med motsvarande täthetsfunktioner

Tillägg: 19 maj 2025 16:32

Då blir det nog väldigt viktigt att hålla koll på de olika fallen :)

Hmm.

Jag tror aldrig jag har gjort det explicit för sannolikhetsfunktioner tidigare, men är det helt enkelt samma (mycket intuitiva) idé som "formeln":

$\displaystyle \mathbb{P}\left(A|B\right) = \frac{\mathbb{P}\left(A\cap B\right)}{\mathbb{P}\left(B\right)}$

?

Ja men exakt, så skulle jag gjort!

Det kan ju vara bra att använda sig av formeln, men när jag nu tänkte att jag skulle försöka lösa den insåg jag att i detta fall blir det ju väldigt enkelt: om man tittar på området och visualiserar att i A så är täthetsfunktionen (för simultana fördelningen (X,Y)) konstant kan man ganska snabbt inse att betingade X|Y=y är en $Uniform(0,\sqrt{1-y^2})$-variabel om $0\leq y\leq 1$, och $Uniform(0, 1)$ om $-1\leq y\leq 0$. Och väntevärdet för en uniform variabel är ju väldigt enkelt att beräkna. Men det kan ju vara trevligt att se att det också är vad som faller ut när man faktiskt försöker beräkna täthetsfunktionen och sedan beräknar väntevärdet

Tack för tipset!

Ska titta på detta på fredag efter min mekanikdugga :D