1 svar
24 visningar
solaris är nöjd med hjälpen!
solaris 238
Postad: 31 maj 2019

Bestäm volym mellan cylindern och sfären

Hej jag har lite svårigheter med att bestämma trippelintegraler. Jag skall bestämma volymen mellan en cylinder      (a^2 = x^2+y^2) och en sfär (2a^2 = z^2+y^2+x^2). Jag tänkte beräkna övre halvan först och sedan cylindern. Här är mina uträkningar. 

AlvinB 3395
Postad: 31 maj 2019

Jag förstår inte ditt tillvägagångssätt. Skall du räkna ut volymen för halvklotet och sedan addera med volymen för någon del av cylindern? Hur är det tänkt att det skall ge volymen mellan cylindern och sfären?

Det har dessutom blivit knas med dina gränser. Varför blir den undre gränsen z=(x2+y2)/a2z=(x^2+y^2)/a^2? Den undre delen av sfären ges väl snarare av z=-2a2-(x2+y2)z=-\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)}?

Själv skulle jag tänka att underdelen av sfären ges av z=-2a2-(x2+y2)z=-\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)} och överdelen av z=2a2-(x2+y2)z=\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)}. Gränserna i zz-led blir därför -2a2-(x2+y2)z2a2-(x2+y2)-\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)}\leq z\leq\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)}. Volymen skall även ligga inom cylindern x2+y2=a2x^2+y^2=a^2, vilket ger cirkelskivan x2+y2a2x^2+y^2\leq a^2 i xyxy-planet. Vi kan därför beräkna volymen med integralen:

x2+y2a2-2a2-(x2+y2)2a2-(x2+y2)1 dz dxdy\displaystyle\iint_{x^2+y^2\leq a^2}\int_{-\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)}}^{\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)}}1\ dz\ dxdy

Beräkningarna kan förenklas något genom att utnyttja symmetri.

Svara Avbryt
Close