21 svar

233 visningar

Bestämma alla vektorer med längden 1

Hej! Har ännu en fråga som jag gärna skulle behöva lite hjälp med.

" $\vec{B}$ = (B1, B2, B3). Bestäm alla vektorer $\vec{v}$ = (v1, v2, v3) av längden 1 som är ortogonala mot $\vec{B}$ och som har första koordinaten 0."

Eftersom att de ska vara ortogonala måste $\vec{B} \times \vec{v} = 0$ och alltså måste $B 1 v 1 + B 2 v 2 + B 3 v 3 + B 4 v 4 = 0$

Om de ska ha längden 1 måste formeln $\frac{\vec{A}}{||A||}$ tillämpas, men jag förstår inte vad jag ska få fram genom att använda denna då det borde ges många olika lösningar. Hur tänker ni?

Du har följande ekvationer.

v • v = 1

B • v = 0

v₁ = 0.

Jag skulle börja med att sätta in v₁ = 0 i de två första ekvationerna och sedan lösa för v₂ och v₃.

PATENTERAMERA skrev:
Du har följande ekvationer.
v • v = 1
B • v = 0
v₁ = 0.
Jag skulle börja med att sätta in v₁ = 0 i de två första ekvationerna och sedan lösa för v₂ och v₃.

Tack för svar. Skulle du kunna förklara varför v $\times$ v = 1?

abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du har följande ekvationer.
v • v = 1
B • v = 0
v₁ = 0.
Jag skulle börja med att sätta in v₁ = 0 i de två första ekvationerna och sedan lösa för v₂ och v₃.
Tack för svar. Skulle du kunna förklara varför v $\times$ v = 1?

Längden skall ju vara ett. Om |v| = 1, så gäller även att |v|² = 1, och vi har att |v|² = v • v.

PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du har följande ekvationer.
v • v = 1
B • v = 0
v₁ = 0.
Jag skulle börja med att sätta in v₁ = 0 i de två första ekvationerna och sedan lösa för v₂ och v₃.
Tack för svar. Skulle du kunna förklara varför v $\times$ v = 1?
Längden skall ju vara ett. Om |v| = 1, så gäller även att |v|² = 1, och vi har att |v|² = v • v.

Okej, men menar du då att ${|v|}^{2} = v_{2} \times v_{3}$ ? Kan ha missförstått allting.

abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du har följande ekvationer.
v • v = 1
B • v = 0
v₁ = 0.
Jag skulle börja med att sätta in v₁ = 0 i de två första ekvationerna och sedan lösa för v₂ och v₃.
Tack för svar. Skulle du kunna förklara varför v $\times$ v = 1?
Längden skall ju vara ett. Om |v| = 1, så gäller även att |v|² = 1, och vi har att |v|² = v • v.
Okej, men menar du då att ${|v|}^{2} = v_{2} \times v_{3}$ ? Kan ha missförstått allting.

|v| = längden av vektorn v (v = (v₁, v₂, v₃)).

|v|² = (v₁)² + (v₂)² + (v₃)² , vilket är detsamma som v • v, där • indikerar skalärprodukt.

Jag rekommenderar att du ritar en figur och tänker geometriskt för att få en känsla för vilka olika lösningsalternativ som skulle kunna uppkomma.

Verkar inte riktigt komma fram till något, har fått ekvationerna

${(v_{1})}^{2} \times {(v_{2})}^{2} = 1$

$B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0$

Men jag kommer inte fram till någon lösning. Är det rätt så här långt?

PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du har följande ekvationer.
v • v = 1
B • v = 0
v₁ = 0.
Jag skulle börja med att sätta in v₁ = 0 i de två första ekvationerna och sedan lösa för v₂ och v₃.
Tack för svar. Skulle du kunna förklara varför v $\times$ v = 1?
Längden skall ju vara ett. Om |v| = 1, så gäller även att |v|² = 1, och vi har att |v|² = v • v.
Okej, men menar du då att ${|v|}^{2} = v_{2} \times v_{3}$ ? Kan ha missförstått allting.
|v| = längden av vektorn v (v = (v₁, v₂, v₃)).
|v|² = (v₁)² + (v₂)² + (v₃)² , vilket är detsamma som v • v, där • indikerar skalärprodukt.
Jag rekommenderar att du ritar en figur och tänker geometriskt för att få en känsla för vilka olika lösningsalternativ som skulle kunna uppkomma.

Tack för förklaringen

abcdefg skrev:
Verkar inte riktigt komma fram till något, har fått ekvationerna
${(v_{1})}^{2} \times {(v_{2})}^{2} = 1$
$B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0$
Men jag kommer inte fram till någon lösning. Är det rätt så här långt?

Nja, den första skall vara

(v₂)² + (v₃)² = 1.

Du har ett ekvationssystem med två obekanta. Det är ”bara” att lösa. Men tänk på att lösningsmängden kan se lite olika ut beroende av värdena på B₂ och B₃. Vad händer tex om ett eller båda av dessa värden är noll?

Jag är övertygad om att jag gör något fel:

$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$

abcdefg skrev:
Jag är övertygad om att jag gör något fel:
$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$

Jag skulle dela upp i två fall:

I. B₂ = B₃ = 0.

II. B₂ eller B₃ är skild från 0.

Du har implicit antagit att B₃ $\neq$ 0, eftersom du delar med B₃ på ett ställe. Låt oss därför beakta fallet att B₃ ≠ 0.

Från den andra ekvationen får vi precis som du visar att

v₃ = -B₂v₂/B₃.

Om vi sätter in detta i den första ekvationen får vi

(v₂)² + (-B₂v₂/B₃)² = 1 $\Rightarrow$

(1 + (B₂/B₃)²)(v₂)² = 1 $\Rightarrow$

$v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} \Rightarrow$

$v_{3} = \mp \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} .$

Vad får du om du antar B₂ $\neq$ 0?

Klarar du fall I. själv?

Jag satt och funderade lite på detta idag och undrar om man inte hade kunnat angripa problemet på ett annat sätt.

Jag tänker såhär (rätta mig om jag har fel) om längden ska vara lika med 1 kan man väl skriva om koordinaterna till $\frac{v_{2}}{\sqrt{{(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2}}}$ , $\frac{v_{3}}{\sqrt{{(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2}}}$ och skalärprodukten $\vec{v} \times \vec{B} = 0 \Rightarrow \frac{B_{2} v_{2}}{\sqrt{{(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2}}} + \frac{B_{3} v_{3}}{\sqrt{{(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2}}} = 0$

Är mitt sätt att tänka rätt eller fel?

PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
Jag är övertygad om att jag gör något fel:
$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$
Jag skulle dela upp i två fall:
I. B₂ = B₃ = 0.
II. B₂ eller B₃ är skild från 0.
Du har implicit antagit att B₃ $\neq$ 0, eftersom du delar med B₃ på ett ställe. Låt oss därför beakta fallet att B₃ ≠ 0.
Från den andra ekvationen får vi precis som du visar att
v₃ = -B₂v₂/B₃.
Om vi sätter in detta i den första ekvationen får vi
(v₂)² + (-B₂v₂/B₃)² = 1 $\Rightarrow$
(1 + (B₂/B₃)²)(v₂)² = 1 $\Rightarrow$
$v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} \Rightarrow$
$v_{3} = \mp \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} .$
Vad får du om du antar B₂ $\neq$ 0?
Klarar du fall I. själv?

Tack så mycket. Är svaret på din fråga "Vad får du om du antar B2 ≠0?" att v3 = 1? Tänker under förutsättningarna att B1 = 0 och B2 ≠ 0. Är detta i sådana fall svaret på frågan? Har ställt många följdfrågor men det är för att jag fortfarande inte förstår allting helt och hållet ännu.

Jag har även försökt klura ut hur jag skulle kunna lösa fall 1, men även där kommer jag inte fram till någon lösning. Tanken är då att jag ska lösa ut v3 resp. v2 utan att behöva dividera med B2 eller B3?

abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
Jag är övertygad om att jag gör något fel:
$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$
Jag skulle dela upp i två fall:
I. B₂ = B₃ = 0.
II. B₂ eller B₃ är skild från 0.
Du har implicit antagit att B₃ $\neq$ 0, eftersom du delar med B₃ på ett ställe. Låt oss därför beakta fallet att B₃ ≠ 0.
Från den andra ekvationen får vi precis som du visar att
v₃ = -B₂v₂/B₃.
Om vi sätter in detta i den första ekvationen får vi
(v₂)² + (-B₂v₂/B₃)² = 1 $\Rightarrow$
(1 + (B₂/B₃)²)(v₂)² = 1 $\Rightarrow$
$v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} \Rightarrow$
$v_{3} = \mp \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} .$
Vad får du om du antar B₂ $\neq$ 0?
Klarar du fall I. själv?
Tack så mycket. Är svaret på din fråga "Vad får du om du antar B2 ≠0?" att v3 = 1? Tänker under förutsättningarna att B1 = 0 och B2 ≠ 0. Är detta i sådana fall svaret på frågan? Har ställt många följdfrågor men det är för att jag fortfarande inte förstår allting helt och hållet ännu.
Jag har även försökt klura ut hur jag skulle kunna lösa fall 1, men även där kommer jag inte fram till någon lösning. Tanken är då att jag ska lösa ut v3 resp. v2 utan att behöva dividera med B2 eller B3?

När det gäller fall I. så får den andra ekvationen följande utseende

$0 v_{2} + 0 v_{3} = 0$ .

För vilka värden på $v_{2}$ och $v_{3}$ är ekvationen uppflylld? Inga? Några? Alla?

När det gäller fallet $B_{2} \neq 0$ , så tänkte jag att du skulle lösa det på samma sätt som jag gjorde för fallet $B_{3} \neq 0$ . Om du är lite klurig så borde du kunna lista ut vad svaret skall bli utan att göra några beräkningar alls. Annars, kopiera min approach, och analysera resulatet. Behöver vi separata formler för fallen B₂≠ 0 och B₃≠ 0?

PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
Jag är övertygad om att jag gör något fel:
$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$
Jag skulle dela upp i två fall:
I. B₂ = B₃ = 0.
II. B₂ eller B₃ är skild från 0.
Du har implicit antagit att B₃ $\neq$ 0, eftersom du delar med B₃ på ett ställe. Låt oss därför beakta fallet att B₃ ≠ 0.
Från den andra ekvationen får vi precis som du visar att
v₃ = -B₂v₂/B₃.
Om vi sätter in detta i den första ekvationen får vi
(v₂)² + (-B₂v₂/B₃)² = 1 $\Rightarrow$
(1 + (B₂/B₃)²)(v₂)² = 1 $\Rightarrow$
$v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} \Rightarrow$
$v_{3} = \mp \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} .$
Vad får du om du antar B₂ $\neq$ 0?
Klarar du fall I. själv?
Tack så mycket. Är svaret på din fråga "Vad får du om du antar B2 ≠0?" att v3 = 1? Tänker under förutsättningarna att B1 = 0 och B2 ≠ 0. Är detta i sådana fall svaret på frågan? Har ställt många följdfrågor men det är för att jag fortfarande inte förstår allting helt och hållet ännu.
Jag har även försökt klura ut hur jag skulle kunna lösa fall 1, men även där kommer jag inte fram till någon lösning. Tanken är då att jag ska lösa ut v3 resp. v2 utan att behöva dividera med B2 eller B3?
När det gäller fall I. så får den andra ekvationen följande utseende
$0 v_{2} + 0 v_{3} = 0$ .
För vilka värden på $v_{2}$ och $v_{3}$ är ekvationen uppflylld? Inga? Några? Alla?
När det gäller fallet $B_{2} \neq 0$ , så tänkte jag att du skulle lösa det på samma sätt som jag gjorde för fallet $B_{3} \neq 0$ . Om du är lite klurig så borde du kunna lista ut vad svaret skall bli utan att göra några beräkningar alls. Annars, kopiera min approach, och analysera resulatet. Behöver vi separata formler för fallen B₂≠ 0 och B₃≠ 0?

Okej. Så $v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ och $v_{3} = \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ , samt $v_{1} = 0$ blir koordinaterna $(0, \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}, \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}})$ vilket borde ge fyra olika svar (kombinationer av $\pm$ )?

abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
Jag är övertygad om att jag gör något fel:
$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$
Jag skulle dela upp i två fall:
I. B₂ = B₃ = 0.
II. B₂ eller B₃ är skild från 0.
Du har implicit antagit att B₃ $\neq$ 0, eftersom du delar med B₃ på ett ställe. Låt oss därför beakta fallet att B₃ ≠ 0.
Från den andra ekvationen får vi precis som du visar att
v₃ = -B₂v₂/B₃.
Om vi sätter in detta i den första ekvationen får vi
(v₂)² + (-B₂v₂/B₃)² = 1 $\Rightarrow$
(1 + (B₂/B₃)²)(v₂)² = 1 $\Rightarrow$
$v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} \Rightarrow$
$v_{3} = \mp \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} .$
Vad får du om du antar B₂ $\neq$ 0?
Klarar du fall I. själv?
Tack så mycket. Är svaret på din fråga "Vad får du om du antar B2 ≠0?" att v3 = 1? Tänker under förutsättningarna att B1 = 0 och B2 ≠ 0. Är detta i sådana fall svaret på frågan? Har ställt många följdfrågor men det är för att jag fortfarande inte förstår allting helt och hållet ännu.
Jag har även försökt klura ut hur jag skulle kunna lösa fall 1, men även där kommer jag inte fram till någon lösning. Tanken är då att jag ska lösa ut v3 resp. v2 utan att behöva dividera med B2 eller B3?
När det gäller fall I. så får den andra ekvationen följande utseende
$0 v_{2} + 0 v_{3} = 0$ .
För vilka värden på $v_{2}$ och $v_{3}$ är ekvationen uppflylld? Inga? Några? Alla?
När det gäller fallet $B_{2} \neq 0$ , så tänkte jag att du skulle lösa det på samma sätt som jag gjorde för fallet $B_{3} \neq 0$ . Om du är lite klurig så borde du kunna lista ut vad svaret skall bli utan att göra några beräkningar alls. Annars, kopiera min approach, och analysera resulatet. Behöver vi separata formler för fallen B₂≠ 0 och B₃≠ 0?
Okej. Så $v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ och $v_{3} = \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ , samt $v_{1} = 0$ blir koordinaterna $(0, \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}, \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}})$ vilket borde ge fyra olika svar (kombinationer av $\pm$ )?

Är alla fyra ortogonala mot B?

Laguna skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
Jag är övertygad om att jag gör något fel:
$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$
Jag skulle dela upp i två fall:
I. B₂ = B₃ = 0.
II. B₂ eller B₃ är skild från 0.
Du har implicit antagit att B₃ $\neq$ 0, eftersom du delar med B₃ på ett ställe. Låt oss därför beakta fallet att B₃ ≠ 0.
Från den andra ekvationen får vi precis som du visar att
v₃ = -B₂v₂/B₃.
Om vi sätter in detta i den första ekvationen får vi
(v₂)² + (-B₂v₂/B₃)² = 1 $\Rightarrow$
(1 + (B₂/B₃)²)(v₂)² = 1 $\Rightarrow$
$v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} \Rightarrow$
$v_{3} = \mp \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} .$
Vad får du om du antar B₂ $\neq$ 0?
Klarar du fall I. själv?
Tack så mycket. Är svaret på din fråga "Vad får du om du antar B2 ≠0?" att v3 = 1? Tänker under förutsättningarna att B1 = 0 och B2 ≠ 0. Är detta i sådana fall svaret på frågan? Har ställt många följdfrågor men det är för att jag fortfarande inte förstår allting helt och hållet ännu.
Jag har även försökt klura ut hur jag skulle kunna lösa fall 1, men även där kommer jag inte fram till någon lösning. Tanken är då att jag ska lösa ut v3 resp. v2 utan att behöva dividera med B2 eller B3?
När det gäller fall I. så får den andra ekvationen följande utseende
$0 v_{2} + 0 v_{3} = 0$ .
För vilka värden på $v_{2}$ och $v_{3}$ är ekvationen uppflylld? Inga? Några? Alla?
När det gäller fallet $B_{2} \neq 0$ , så tänkte jag att du skulle lösa det på samma sätt som jag gjorde för fallet $B_{3} \neq 0$ . Om du är lite klurig så borde du kunna lista ut vad svaret skall bli utan att göra några beräkningar alls. Annars, kopiera min approach, och analysera resulatet. Behöver vi separata formler för fallen B₂≠ 0 och B₃≠ 0?
Okej. Så $v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ och $v_{3} = \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ , samt $v_{1} = 0$ blir koordinaterna $(0, \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}, \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}})$ vilket borde ge fyra olika svar (kombinationer av $\pm$ )?
Är alla fyra ortogonala mot B?

Okej, så de är bara ortogonala mot B om $v_{1}$ är positiv och $v_{2}$ negativ och vice versa?

abcdefg skrev:
Laguna skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
Jag är övertygad om att jag gör något fel:
$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$
Jag skulle dela upp i två fall:
I. B₂ = B₃ = 0.
II. B₂ eller B₃ är skild från 0.
Du har implicit antagit att B₃ $\neq$ 0, eftersom du delar med B₃ på ett ställe. Låt oss därför beakta fallet att B₃ ≠ 0.
Från den andra ekvationen får vi precis som du visar att
v₃ = -B₂v₂/B₃.
Om vi sätter in detta i den första ekvationen får vi
(v₂)² + (-B₂v₂/B₃)² = 1 $\Rightarrow$
(1 + (B₂/B₃)²)(v₂)² = 1 $\Rightarrow$
$v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} \Rightarrow$
$v_{3} = \mp \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} .$
Vad får du om du antar B₂ $\neq$ 0?
Klarar du fall I. själv?
Tack så mycket. Är svaret på din fråga "Vad får du om du antar B2 ≠0?" att v3 = 1? Tänker under förutsättningarna att B1 = 0 och B2 ≠ 0. Är detta i sådana fall svaret på frågan? Har ställt många följdfrågor men det är för att jag fortfarande inte förstår allting helt och hållet ännu.
Jag har även försökt klura ut hur jag skulle kunna lösa fall 1, men även där kommer jag inte fram till någon lösning. Tanken är då att jag ska lösa ut v3 resp. v2 utan att behöva dividera med B2 eller B3?
När det gäller fall I. så får den andra ekvationen följande utseende
$0 v_{2} + 0 v_{3} = 0$ .
För vilka värden på $v_{2}$ och $v_{3}$ är ekvationen uppflylld? Inga? Några? Alla?
När det gäller fallet $B_{2} \neq 0$ , så tänkte jag att du skulle lösa det på samma sätt som jag gjorde för fallet $B_{3} \neq 0$ . Om du är lite klurig så borde du kunna lista ut vad svaret skall bli utan att göra några beräkningar alls. Annars, kopiera min approach, och analysera resulatet. Behöver vi separata formler för fallen B₂≠ 0 och B₃≠ 0?
Okej. Så $v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ och $v_{3} = \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ , samt $v_{1} = 0$ blir koordinaterna $(0, \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}, \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}})$ vilket borde ge fyra olika svar (kombinationer av $\pm$ )?
Är alla fyra ortogonala mot B?
Okej, så de är bara ortogonala mot B om $v_{1}$ är positiv och $v_{2}$ negativ och vice versa?

Nja. Två kombinationer. Formlerna som jag skrev skall tolkas så att om du väljer plustecken i den första formeln så skall du ha minustecknet i den andra formeln, och vise versa.

Hur går det med fall I.?

Har du gjort beräkningen för fallet $B_{2} \neq 0$ ? Vad är din slutsats?

Har du ritat och fått en geometrisk intuition för problemet?

PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
Laguna skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
PATENTERAMERA skrev:
abcdefg skrev:
Jag är övertygad om att jag gör något fel:
$\{\begin{cases} {(v_{2})}^{2} + {(v_{3})}^{2} = 1 \\ B_{2} v_{2} + B_{3} v_{3} = 0 \end{cases}$ = $\{\begin{cases} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(v_{3})}^{2}} \\ v_{3} = \frac{- B_{2} v_{2}}{B_{3}} \end{cases}$ = $\begin{array}{l} (v_{2}) = \sqrt{1 - {(\frac{B_{2} v_{2}}{B_{1}})}^{2}} \end{array}$
Jag skulle dela upp i två fall:
I. B₂ = B₃ = 0.
II. B₂ eller B₃ är skild från 0.
Du har implicit antagit att B₃ $\neq$ 0, eftersom du delar med B₃ på ett ställe. Låt oss därför beakta fallet att B₃ ≠ 0.
Från den andra ekvationen får vi precis som du visar att
v₃ = -B₂v₂/B₃.
Om vi sätter in detta i den första ekvationen får vi
(v₂)² + (-B₂v₂/B₃)² = 1 $\Rightarrow$
(1 + (B₂/B₃)²)(v₂)² = 1 $\Rightarrow$
$v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} \Rightarrow$
$v_{3} = \mp \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}} .$
Vad får du om du antar B₂ $\neq$ 0?
Klarar du fall I. själv?
Tack så mycket. Är svaret på din fråga "Vad får du om du antar B2 ≠0?" att v3 = 1? Tänker under förutsättningarna att B1 = 0 och B2 ≠ 0. Är detta i sådana fall svaret på frågan? Har ställt många följdfrågor men det är för att jag fortfarande inte förstår allting helt och hållet ännu.
Jag har även försökt klura ut hur jag skulle kunna lösa fall 1, men även där kommer jag inte fram till någon lösning. Tanken är då att jag ska lösa ut v3 resp. v2 utan att behöva dividera med B2 eller B3?
När det gäller fall I. så får den andra ekvationen följande utseende
$0 v_{2} + 0 v_{3} = 0$ .
För vilka värden på $v_{2}$ och $v_{3}$ är ekvationen uppflylld? Inga? Några? Alla?
När det gäller fallet $B_{2} \neq 0$ , så tänkte jag att du skulle lösa det på samma sätt som jag gjorde för fallet $B_{3} \neq 0$ . Om du är lite klurig så borde du kunna lista ut vad svaret skall bli utan att göra några beräkningar alls. Annars, kopiera min approach, och analysera resulatet. Behöver vi separata formler för fallen B₂≠ 0 och B₃≠ 0?
Okej. Så $v_{2} = \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ och $v_{3} = \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}$ , samt $v_{1} = 0$ blir koordinaterna $(0, \pm \frac{B_{3}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}}, \pm \frac{B_{2}}{\sqrt{{(B_{2})}^{2} + {(B_{3})}^{2}}})$ vilket borde ge fyra olika svar (kombinationer av $\pm$ )?
Är alla fyra ortogonala mot B?
Okej, så de är bara ortogonala mot B om $v_{1}$ är positiv och $v_{2}$ negativ och vice versa?
Nja. Två kombinationer. Formlerna som jag skrev skall tolkas så att om du väljer plustecken i den första formeln så skall du ha minustecknet i den andra formeln, och vise versa.
Hur går det med fall I.?
Har du gjort beräkningen för fallet $B_{2} \neq 0$ ? Vad är din slutsats?
Har du ritat och fått en geometrisk intuition för problemet?

Om $B_{2}$ $\neq 0$ måste $v_{2}$ och $v_{3}$ kunna anta alla värden, tänker jag rent intuitivt.

Jag har gjort en skiss och tror jag förstår hur vektorerna förhåller sig till varandra rent geometriskt.

Nja, för fallet $B_{2} \neq 0$ får man faktiskt samma formler som för fallet $B_{3} \neq 0$ .

Så fall II. täcks av helt av de formler som vi redan tagit fram.

Så det återstår bara fall I.

PATENTERAMERA skrev:
Nja, för fallet $B_{2} \neq 0$ får man faktiskt samma formler som för fallet $B_{3} \neq 0$ .
Så fall II. täcks av helt av de formler som vi redan tagit fram.
Så det återstår bara fall I.

Men jag måste nog ha skrivit fel ser jag nu, menar fallet då $B_{2} = B_{3} = 0$

Jag har gjort en skiss och tror jag förstår hur vektorerna förhåller sig till varandra rent geometriskt.

Kan du lägga in bilden här så att vi kan se den också?

Svara Avbryt

Visa senaste svar