Bestämma bas för underrum i R4
Hej!
Behöver hjälp med följande uppgift, jättetacksam om någon kan förklara hur man gör.
Betrakta underrummet U = [v1, v2, v3, v4], i R4
(a) Bestäm en bas för U.
(b) Beskriv U som ett lösningsrum.
(c) Utvidga basen i U till en bas för R4 . Motivera väl att det är en bas.
a) Känner man vektorerna v1....v4 ? Om inte måste svaret ges i helt allmän form, i detta fall som villkoret i definitionen för linjärt oberoende.
b) Ett lösningsrum är en mängd av lösningar till en ekvation. I detta fallet ska lösningsrummet vara av den dimension som svarar mot antalet av v1....v4 som är linjärt oberoende. Ett exempel: En linjär, homogen diff. ekv. av fjärde ordningen kan ha ett lösningsrum som är 4-dim. Vektorerna v1...v4 är då fyra linjärt oberoende funktioner som löser diff.ekv.
c) Om v1...v4 redan är linjärt oberoende så är U=R4 så är en utvidgning ej möjlig. Annars om t ex v1...v3 är linjärt oberoende, men inte uppsättningen v1...v4, så är U ett 3-dimensionellt underrum i R4 Då finns ett annat val av den fjärde vektorn, säg v5 så att v1...-v3, v5 blir en bas för R4 .
