Bestämma målmängd så att f är inverterbar

Att $f$ är inverterbar innebär att $f$ har en invers $f^{-1}$ sådan att $D_f = M_{f^{-1}}$. 

Du har rätt i att det inte finns några begränsningar på talen man kan stoppa in i $f$, där är definitionsmängden hela $\mathbb{R}$. Men om vi skulle försöka invertera $f$ skulle vi komma fram till funktionen:

$\displaystyle f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(\ln\left(x-1\right)-\ln 10-5\right)$

Men vi ser att målmängden här inte är hela $\mathbb{R}$. Så vi måste begränsa definitionsmängden till $f$ för att detta ska vara inversfunktionen, och det är det uppgiften går ut på. Har du något förslag på hur vi kan göra detta?

naytte skrev:

Att $f$ är inverterbar innebär att $f$ har en invers $f^{-1}$ sådan att $D_f = M_{f^{-1}}$. 

Du har rätt i att det inte finns några begränsningar på talen man kan stoppa in i $f$, där är definitionsmängden hela $\mathbb{R}$. Men om vi skulle försöka invertera $f$ skulle vi komma fram till funktionen:

$\displaystyle f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(\ln\left(x-1\right)-\ln 10-5\right)$

Men vi ser att målmängden här inte är hela $\mathbb{R}$. Så vi måste begränsa definitionsmängden till $f$ för att detta ska vara inversfunktionen, och det är det uppgiften går ut på. Har du något förslag på hur vi kan göra detta?

Asså jag har precis hittat inversen till f som du gjorde. Så jag har ingen aning hur vi ska hitta målmängden när vi inte har inverterat f.  Jag vet inte heller vad målmängden är nu när vi har hittat inversen.

Det finns ett tal där $f^{-1}$ är odefinierad, och även för alla mindre tal. Vilket tal är det?

naytte skrev:

Det finns ett tal där $f^{-1}$ är odefinierad, och även för alla mindre tal. Vilket tal är det?

hm x=1 är inte definierad.

Precis, och inte heller för alla mindre tal, eller hur?

naytte skrev:

Precis, och inte heller för alla mindre tal, eller hur?

Ja asså x får inte vara negativt heller ,bara positivt större än 1 

Exakt! Så nu har vi alltså den nedre begränsningen i definitionsmängden till $f^{-1}$, alltså även till målmängden för $f$. Sedan kan $f^{-1}$ ta alla andra $x$ som finns, så:

$\displaystyle D_{f^{-1}}=M_{f}= \left(1, \infty\right)$

Nu kan vi titta på målmängden istället. Har du något förslag på hur vi ska hitta den undre gränsen för målmängden till $f^{-1}$?

naytte skrev:

Exakt! Så nu har vi alltså den nedre begränsningen i definitionsmängden till $f^{-1}$, alltså även till målmängden för $f$. Sedan kan $f^{-1}$ ta alla andra $x$ som finns, så:

$\displaystyle D_{f^{-1}}=M_{f}= \left(1, \infty\right)$

Nu kan vi titta på målmängden istället. Har du något förslag på hur vi ska hitta den undre gränsen för målmängden till $f^{-1}$?

Jag förstår inte riktigt. Jag har bara bestämt definitionsmängden till inversen och du säger att målmämgden är lika med det och du pratar om övre och undre begränsning som jag inte är med på vad det har med målmängd att göra. Jag är lite lost nu :)

Med undre och övre begränsning menar jag ungefär "det minsta" och "det största" talet som finns i mängderna. Infimet respektive supremet, om du har läst om det. T.ex. funktionen $\ln x$ har definitionsmängden $D=(0, \infty)$, alltså är $0$ den undre begränsningen och $\infty$ den övre begränsningen. Eller med andra ord:

$\inf D = 0$ och $\sup D = \infty$

Har du ritat för att få en bättre uppfattning?

naytte skrev:

Med undre och övre begränsning menar jag ungefär "det minsta" och "det största" talen som finns i mängderna. Infimet respektive supremet, om du har läst om det. T.ex. funktionen $\ln x$ har definitionsmängden $D=(0, \infty)$, alltså är $0$ den undre begränsningen och $\infty$ den övre begränsningen. Eller med andra ord:

$\inf D = 0$ och $\sup D = \infty$

Ja juste dem har jag faktiskt glömt. Men 0 är undre begränsning dvs Inf D=0 för att 0 är mindre än alla tal i mängden ? Dock förstår jag inte varför sup D=inf , eftersom infinity är inget tal även om man säger att den är övre begränsning och större än alla andra tal i mängden. 

Man kan kanske se det som att en övre begränsning saknas, alltså att talen kan bli hur stora som helst. Lite på samma sätt som man säger att $\mathbb{R}$ är lika med mängden:

$\mathbb{R} = \left(-\infty,\infty\right)$

Trots att varken $-\infty$ eller $\infty$ är "tal" i den vanliga bemärkelsen på $\mathbb{R}$. Kan du köpa det? :)

(rent formellt är det så de utvidgade reella talen definieras men strunta i det, det är en petitess)

naytte skrev:

Man kan kanske se det som att en övre begränsning saknas, alltså att talen kan bli hur stora som helst. Lite på samma sätt som man säger att $\mathbb{R}$ är lika med mängden:

$\mathbb{R} = \left(-\infty,\infty\right)$

Trots att varken $-\infty$ eller $\infty$ är "tal" i den vanliga bemärkelsen på $\mathbb{R}$. Kan du köpa det? :)

Okej 

Laguna skrev:

Har du ritat för att få en bättre uppfattning?

Du menar att rita för att bestämma målmängd?  Jag kan prova det på desmos.

Utmärkt!

Då tycker jag vi återgår till uppgiften. Vi har alltså lyckats bestämma målmängden till $f$ genom att bestämma definitionsmängden till vår eventuella inversfunktion $f^{-1}$. Vi har alltså:

$\displaystyle M_{f} = \left(1, \infty\right)$

Har du något förslag på hur vi kan bestämma definitionsmängden till $f$ utgående från $f^{-1}$? :)

naytte skrev:

Utmärkt!

Då tycker jag vi återgår till uppgiften. Vi har alltså lyckats bestämma målmängden till $f$ genom att bestämma definitionsmängden till vår eventuella inversfunktion $f^{-1}$. Vi har alltså:

$\displaystyle M_{f} = \left(1, \infty\right)$

Har du något förslag på hur vi kan bestämma definitionsmängden till $f$ utgående från $f^{-1}$? :)

Jag är ledsen men jag förstår inte logiken till hur man bestämmer målmängd samt varför den bestäms mha inversens definitionsmängd. 

Vi får nog backa lite då till våra definitioner. Hur definieras inverterbarhet för en funktion $g:D_g \to M_g$ ? 

naytte skrev:

Vi får nog backa lite då till våra definitioner. Hur definieras inverterbarhet för en funktion $g:D_g \to M_g$ ? 

En funktion som har en invers kallas inverterbar. Definition 3.11 i Tomas pdf häftet. Vad är notationen D_g=>M_g? 

Okej, och vad är en invers då?

$g:D_g \to M_g$ betyder att funktionen $g$ mappar element ur definitionsmängden $D_g$ till element i målmängden $M_g$. ($M_g$ kan rent formellt vara större än hela målmängden men vi antar att det är hela målmängden nu).

naytte skrev:

Okej, och vad är en invers då?

Invers är ju att om för varje x i Df gäller att f(x) =f(y). Tex om jag väljer olika x så ska jag få ut ett bestämt y värde till varje såna x. 

Nu förstår jag inte riktigt vad du menar, men jag tror du tänker rätt. Helt enkelt ska det finnas en "motsatsmappning" till $g$. Så om $g$ mappar exakt ett element ur $D_g$ till exakt ett element ur $M_g$, ska det finnas en "motsatsmappning" $g^{-1}$ som mappar på motsvarande sätt "åt andra hållet", alltså från $M_g$ till $D_g$.

Man säger att $g$ är inverterbar om och endast om $g$ är en bijektion. Här är en exempelbild:

Umkehrfunktion betyder inversfunktion.

naytte skrev:

Nu förstår jag inte riktigt vad du menar, men jag tror du tänker rätt. Helt enkelt ska det finnas en "motsatsmappning" till $g$. Så om $g$ mappar exakt ett element ur $D_g$ till exakt ett element ur $M_g$, ska det finnas en "motsatsmappning" $g^{-1}$ som mappar på motsvarande sätt "åt andra hållet", alltså från $M_g$ till $D_g$.

Man säger att $g$ är inverterbar om och endast om $g$ är en bijektion. Här är en exempelbild:

Umkehrfunktion betyder inversfunktion.

Ok. I pdfen jag läser ifrån finns inte invers bilddn som visar motsatsen. Men jag köper det. Så g måste vara bijektiv och injektiv för att det ska vara inverterbar? Man får inte säga att g är inverterbar om den har en invers?  

Man får inte säga att g är inverterbar om den har en invers?  

Jo det får man, men då måste man ju också förklara vad en invers är.

Så g måste vara bijektiv och injektiv för att det ska vara inverterbar?

$g$ måste vara injektiv och surjektiv, eller med andra ord bijektiv, för att vara inverterbar.

naytte skrev:

Man får inte säga att g är inverterbar om den har en invers?  

Jo det får man, men då måste man ju också förklara vad en invers är.

Så g måste vara bijektiv och injektiv för att det ska vara inverterbar?

$g$ måste vara injektiv och surjektiv, eller med andra ord bijektiv, för att vara inverterbar.

Okej då är jag med.

Okej, bra. Jag hänvisar då till inlägg #16.

naytte skrev:

Utmärkt!

Då tycker jag vi återgår till uppgiften. Vi har alltså lyckats bestämma målmängden till $f$ genom att bestämma definitionsmängden till vår eventuella inversfunktion $f^{-1}$. Vi har alltså:

$\displaystyle M_{f} = \left(1, \infty\right)$

Har du något förslag på hur vi kan bestämma definitionsmängden till $f$ utgående från $f^{-1}$? :)

Df till f är ju hela R. Men vi ser att f^-1(x) har df=(1,inf)

Japp, det stämmer. Så det betyder att $f$ måste ha målmängden $M_f = D_{f^{-1}} = \left(1, \infty\right)$. Nu måste vi utgående från $f^{-1}$ bestämma definitionsmängden till $f$, vilket vi enklast gör genom att ta fram målmängden till $f^{-1}$.

naytte skrev:

Japp, det stämmer. Så det betyder att $f$ måste ha målmängden $M_f = D_{f^{-1}} = \left(1, \infty\right)$. Nu måste vi utgående från $f^{-1}$ bestämma definitionsmängden till $f$, vilket vi enklast gör genom att ta fram målmängden till $f^{-1}$.

Målmängden till f^-1 är (1,inf)? 

Nej, det är definitionsmängden till $f^{-1}$.

naytte skrev:

Nej, det är definitionsmängden till $f^{-1}$.

Okej juste.

naytte skrev:

Japp, det stämmer. Så det betyder att $f$ måste ha målmängden $M_f = D_{f^{-1}} = \left(1, \infty\right)$. Nu måste vi utgående från $f^{-1}$ bestämma definitionsmängden till $f$, vilket vi enklast gör genom att ta fram målmängden till $f^{-1}$.

Är det alltid så att målmängden är lika med  definitionsmängden till f^-1(x) enligt de där bilderna du visade  ?  Vi går ju från f: R (-inf,inf)  till (1,inf) 

Det gäller att definitionsmängden till $f$ är målmängden till $f^{-1}$, och tvärtom.

naytte skrev:

Det gäller att definitionsmängden till $f$ är målmängden till $f^{-1}$, och tvärtom.

Och målmängden till f^-1(y)  är definitionsmängden till f? Målmängden till f^-1(y) är då (-inf,inf) dvs hela R. Det är som den här exempel i häftet

Jag tar och skriver lösningen åt dig så kan vi gå igenom den ifall du inte förstår något i den, för jag har lite svårt att tyda vad du menar.

Vi börjar med att utgå från vår ursprungsfunktion $\displaystyle f\left(x \right) = 1+10e^{3x+5}$. När vi plockar fram den eventuella inversen erhåller vi:

$\displaystyle f^{-1}\left(x \right) = \frac{1}{3}\left(\ln\left(x-1\right)-\ln 10 - 5\right)$

Om vi analyserar våra definitions- och värdemängder utan några eventuella begränsningar ännu ser vi att:

$\displaystyle D_f = \left(-\infty, \infty\right)$

$\displaystyle M_f = \left(1, \infty\right)$

Nu analyserar vi inversfunktionen:

$\displaystyle D_{f^{-1}} = \left(1, \infty\right)$

$\displaystyle M_{f^{-1}} = \left(-\infty, \infty\right)$

Som vi ser har vi att $D_f = M_{f^{-1}}$ samt att $M_f = D_{f^{-1}}$ utan att vi behövde införa några begränsingar på definitionsmängden till $f$. Alltså är funktionen $f$ inverterbar på sin vanliga definitionsmängd, och har:

$D_f = \left(-\infty, \infty\right)$

$M_f = \left(1, \infty \right)$

naytte skrev:

Jag tar och skriver lösningen åt dig så kan vi gå igenom den ifall du inte förstår något i den, för jag har lite svårt att tyda vad du menar.

Vi börjar med att utgå från vår ursprungsfunktion $\displaystyle f\left(x \right) = 1+10e^{3x+5}$. När vi plockar fram den eventuella inversen erhåller vi:

$\displaystyle f^{-1}\left(x \right) = \frac{1}{3}\left(\ln\left(x-1\right)-\ln 10 - 5\right)$

Om vi analyserar våra definitions- och värdemängder utan några eventuella begränsningar ännu ser vi att:

$\displaystyle D_f = \left(-\infty, \infty\right)$

$\displaystyle M_f = \left(1, \infty\right)$

Nu analyserar vi inversfunktionen:

$\displaystyle D_{f^{-1}} = \left(1, \infty\right)$

$\displaystyle M_{f^{-1}} = \left(-\infty, \infty\right)$

Som vi ser har vi att $D_f = M_{f^{-1}}$ samt att $M_f = D_{f^{-1}}$ utan att vi behövde införa några begränsingar på definitionsmängden till $f$. Alltså är funktionen $f$ inverterbar på sin vanliga definitionsmängd, och har:

$D_f = \left(-\infty, \infty\right)$

$M_f = \left(1, \infty \right)$

Nu när jag tänker efter så kan man bara säga att värdemängd är lika med målmängden eftersom uppgiften har inte gett oss målmängd som de gör i exempel ovan i #34.  Jag hittade värdemängden till f och dess invers mha gränsvärde. Jag vet att Df=(-inf,inf) till f och dess värdemängd=(1,inf) om man använder gränsvärde . Sen ser vi att Df=(1, inf)  till inversen och dess värdemängd är (-inf,inf). 

I din lösning skrev du aldrig värdemängden till både f och inversen till f vilket efterfrågades också i  uppgiften, utan du gick direkt till målmängden.