14 svar

363 visningar

Lovelita är nöjd med hjälpen

Bestämma största och minsta värde för f(x,y) = e^x + e^y - 2e^(x+2)/2

Uppgiften lyder

Bestäm största och minsta värdet för funktionen

$f (x, y) = e^{x} + e^{y} - 2 e^{\frac{x + 2}{2}} p å m ä n g d e n (x, y) : x, y \geq 0, x + y \leq 0$

Jag börjar med att ta fram stationära punkterna, vilket jag gör genom partiell derivata och lösa ekvationssystem

$\frac{\partial}{d x} = - e^{\frac{x + y}{2}} + e^{x} \frac{\partial}{d y} = - e^{\frac{x + y}{2}} + e^{y}$

Vi vill sätta gradienten lika med noll

Jag får då x=y.

Tycker det blir lite klurigt med deriveringen, har jag deriverat fel med avseende på x och y?

Men om $x, y \geq 0 o c h x + y \leq 0 \Rightarrow D_{f} = (0, 0)$

Definitionsmängden är bara origo. Funktionen antar bara ett värde på din mängd. Du behöver alltså inte derivera.

Berty von Fjerty skrev:
Men om $x, y \geq 0 o c h x + y \leq 0 \Rightarrow D_{f} = (0, 0)$

Definitionsmängden är bara origo. Funktionen antar bara ett värde på din mängd. Du behöver alltså inte derivera.

Jaha oj det missade jag. Tack för svar!

Har du tips på hur jag kan gå vidare i uppgiften?

Lovelita skrev:
Berty von Fjerty skrev:
Men om $x, y \geq 0 o c h x + y \leq 0 \Rightarrow D_{f} = (0, 0)$

Definitionsmängden är bara origo. Funktionen antar bara ett värde på din mängd. Du behöver alltså inte derivera.

Jaha oj det missade jag. Tack för svar!

Har du tips på hur jag kan gå vidare i uppgiften?

Ja om funktionen antar endast ett värde, måste väl det värdet vara både det högsta och lägsta på samma gång, inte sant?

Berty von Fjerty skrev:
Lovelita skrev:
Berty von Fjerty skrev:
Men om $x, y \geq 0 o c h x + y \leq 0 \Rightarrow D_{f} = (0, 0)$

Definitionsmängden är bara origo. Funktionen antar bara ett värde på din mängd. Du behöver alltså inte derivera.

Jaha oj det missade jag. Tack för svar!

Har du tips på hur jag kan gå vidare i uppgiften?

Ja om funktionen antar endast ett värde, måste väl det värdet vara både det högsta och lägsta på samma gång, inte sant?

Ja det värdet blir alltså enda extrempunkten?

Berty von Fjerty skrev:
Lovelita skrev:
Berty von Fjerty skrev:
Men om $x, y \geq 0 o c h x + y \leq 0 \Rightarrow D_{f} = (0, 0)$

Definitionsmängden är bara origo. Funktionen antar bara ett värde på din mängd. Du behöver alltså inte derivera.

Jaha oj det missade jag. Tack för svar!

Har du tips på hur jag kan gå vidare i uppgiften?

Ja om funktionen antar endast ett värde, måste väl det värdet vara både det högsta och lägsta på samma gång, inte sant?

Ja det värdet blir alltså enda extrempunkten?

Uppgiften efterfrågar största och minsta värde, varför jag bör undersöka om det finns extrempunkter på följande områden:

Punkter där funktionens derivata är lika med noll (kritiska punkter) inuti området

Punkter där funktionen inte är partiellt deriverbar

Randpunkter till intervallet (dvs på områdets rand)

Har du verkligen skrivit av definitionsmängden korrekt?

Smaragdalena skrev:
Har du verkligen skrivit av definitionsmängden korrekt?

Nej, så slarvigt av mig. Mängden är:

(x,y) : x, y ≥ 0, x+y ≤ 2

Alltså gäller deriveringen. Frågan är då om jag har beräknat partiella derivator korrekt.

Nej, det är bara en av termerna i funktionen som beror på y.

Smaragdalena skrev:
Nej, det är bara en av termerna i funktionen som beror på y.

Då har vi att

$\frac{\partial}{d x} = \frac{1}{2} e^{\frac{x + 2}{2}} + e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \ln (- 2) + 2 .$

$\frac{\partial}{d y} = e^{y} = 0 i n g e n l ö s n i n g$

Nu substituerar vi x=y, där

$e^{- 2 \ln (- 2) + 2}$

Smaragdalena skrev:
Nej, det är bara en av termerna i funktionen som beror på y.

Funktionen som står i WolframAlpha stämmer inte med den funktionen jag undersöker här. Jag får fortfarande samma värden jag fick i början. Nämligen x=y när jag sätter gradienten lika med noll

Lovelita skrev:
Smaragdalena skrev:
Nej, det är bara en av termerna i funktionen som beror på y.

Då har vi att

$\frac{\partial}{d x} = \frac{1}{2} e^{\frac{x + 2}{2}} + e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \ln (- 2) + 2 .$

$\frac{\partial}{d y} = e^{y} = 0 i n g e n l ö s n i n g$

Nu substituerar vi x=y, där

$e^{- 2 \ln (- 2) + 2}$

Partialderivatan med avseende på x stämmer inte:

$\frac{\partial}{\partial x} (e^{x} + e^{y} - 2 e^{\frac{x}{2} + 1}) = e^{x} - e^{\frac{x}{2} + 1}$

Oavsett så ser du ju att gradienten är nollskild för alla (x, y), vilket betyder att det högsta och lägsta värdet måste befinna sig någonstans längs ditt områdes kanter och punkterna som sammanbinder dem.

Området är en rätvinklig triangel i första kvadranten som utgörs av linjerna:

$x = 0, y = 0, y = 2 - x$

Vad är nästa steg, tänker du?

Du kan alltid plotta grafen över ditt begränsade område i geogebras 3D-grafräknare som hjälp. Använd Om(villkor, f(x, y)), så plottar geogebra grafen över det begränsade området som du anger som ett villkor.

Tack så mycket för hjälpen!!

(Var väldigt trött när jag postade detta, så hade även råkat skriva fel i täljaren i funktionen märkte jag i efterhand.)

Svara Avbryt

Visa senaste svar