Bestämning av tyngdaccelerationen

Hej! Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift:

Följande observationer görs i ett kök: Det tar 12 s att fylla ett vattenglas med vatten från kranen. Vattenstrålen har diametern 8 mm uppe vid munstycket och diametern 4 mm nere vid köksvaskens botten. Vattenglaset rymmer 3,3 dl Avståndet mellan kökskranens munstycke och vaskens botten är 24 cm Ur detta kan ett värde på tyngdaccelerationen g bestämmas. Vilket värde får man?

Så här har jag gjort:

Lösningsförslaget till uppgiften lyder:

Flödet från kranen är $\frac{3, 3 \times 10^{- 4} m^{3}}{12 s} = 2, 75 \times 10^{- 5} \frac{m^{3}}{s}$

Vattnets hastighet (=flödet/tvärsnittsarean) uppe vid kranen respektive nere vid vaskens botten:

$v_{0} = \frac{2, 75 \times 10^{- 5} \frac{m^{3}}{s}}{π \times {(4 \times 10^{- 3} m)}^{2}} = 0, 55 \frac{m}{s}$

$v = \frac{2, 75 \times 10^{- 5} \frac{m^{3}}{s}}{π \times {(2 \times 10^{- 3} m)}^{2}} = 2, 2 \frac{m}{s}$

Vattnets fart ökar alltså från 0,55 m/s till 2,2 m/s på en sträcka av 0,24 m. Accelerationen fås ur $2 a s = v^{2} - {v_{0}}^{2}$ och blir $a = \frac{2, 2^{2} - 0, 55^{2}}{2 \times 0, 24} \frac{m}{s^{2}} = 9, 4 \frac{m}{s^{2}}$

Jag undrar följande:

1. Varför fungerar inte min lösning?

2. Hur kommer man fram till sambandet $2 a s = v^{2} - {v_{0}}^{2}$ ? Jag ser att termen as kommer ha enheten (m/s)^2, så den kommer också vara en hastighet (låt oss kalla den u) som är kvadrerad. Jag antar att det är någon typ av medelhastighet, eftersom $u^{2} = \frac{v^{2} - {v_{0}}^{2}}{2}$ , men varför har termerna kvadrerats, och varför används subtraktion?

Jag vill börja med att säga att ditt resonemang visar på förståelse och är tydligt. Det är en helt acceptabel beräkning skulle jag säga men den innehåller ett par approximationer som gör att den avviker mer än vad lösningsförslaget gör.

Det var en lurig uppgift tycker jag och lösningsförslaget kräver en hel del av läsaren.

Du kanske känner igen formeln för hur hastighet förändras vid konstant acceleration:

$v = v_{0} + a t a = \frac{v - v_{0}}{t}$

Denna kan vi använda. Den beskriver i ditt fall vad som gäller för ett litet vätskeelement från kranen till botten. Det vi inte vet här är t, d.v.s. tiden det tar för vätskeelementet att falla ned. Då drar vi oss till minnes en annan formel:

$s = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t t = \frac{2 s}{v_{0} + v}$

Här känner vi till allt för att få t! Sätt in t i den första för att få a:

$a = \frac{(v - v_{0}) (v_{0} + v)}{2 s} = \frac{v^{2} - {v_{0}}^{2}}{2 s} 2 a s = v^{2} - {v_{0}}^{2}$

Inte ett jättetydligt lösningsförslag, kanske, till skillnad från din tydliga lösning.

Så, varför får du ett annat svar? Du har faktiskt räknat ut en hyfsad approximation till g. I dina uträkningar har du gjort ett par approximationer som gör att du kommer längre ifrån det verkliga värdet på g. Jag tror att den grövsta approximationen som du gör är ditt resonemang om att en "stråle" (=en stympad kon) faller i 12/48,63 s. Nedre delen av strålen är ju redan vid botten. Jag gissar att du själv var lite osäker på just den delen. Dessutom tror jag inte att strålen är en stympad kon men den approximationen är förmodligen inte lika grov.

Tusen tack! Det här hjälpte enormt mycket!

Svara Avbryt