Betyder "=" olika saker beroende på sammanhang?

Hej!

En sak som jag har funderat på är om symbolen $=$ egentligen gömmer olika kvantifieringar som tas som implicita i olika sammanhang.

Låt säga att vi studerar ekvationen $x+2=3+4x$ . Här skulle vi aldrig få för oss att försöka tillämpa ett gränsvärde, och i allmänhet gäller

$\displaystyle \lim_{x\to a}\left(x+2\right) \ne \lim_{x\to a}\left(3+4x\right)$

Hade vi däremot haft att göra med t.ex. funktioner som är lika överallt på sin domän, då hade vi mycket väl kunnat skriva något som

$\displaystyle f\left(x\right)=g\left(x\right)\implies \lim_{x\to a}f\left(x\right)=\lim_{x\to a}g\left(x\right)$

Stämmer det att det som händer här är att "ekvationerna" egentligen gömmer någon kvantifiering om omgivningar till punkter antas självklara men som gör att situationerna skiljer sig åt?

Ja, det beror av sammanhanget. Vanligtvis när man ser en ekvation av typen $x+2=3+4x$ så handlar det om tal och inte funktioner. För två funktioner med samma definitionsmängd gäller att $f=g$ om $f(x)=g(x)$ för alla möjliga $x$ . Ibland är det detta man menar, utan att skriva ut det.

Detta skrivs inte alltid ut men framgår oftast av sammanhanget. För att ta gränsvärden behöver man ha en funktion och inte bara ett tal, till exempel.

Tänker du kanske på skillnaden mellan ekvation och identitet?

Jag tror att Gustors insikt om att $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ egentligen ofta betyder $f=g$ slår huvudet på spiken.

@SeriousCephalopod, kanske. I det ena fallet verkar man precis som Gustor säger avse enskilda punkter, medan man i det andra avser likhet på åtminstone en omgivning till en punkt. Men jag menar, säg att någon skriver t.ex:

$\displaystyle x=\sqrt{x^2}$

Utan vidare kontext går det ju inte att veta vad detta betyder. Är det ett uttalande om en likhet av två funktioner på en viss domän? Är det en ekvation som ska lösas? Jag tror att man måste låta sammanhanget avgöra vad uttrycket betyder.

Svara

Visa senaste svar