Bevis
Visa spoiler
Skriv ditt dolda innehåll här
mitt bevis ser ut så här:
Är mitt bevis korrekt?
tycker omvändningen är lite vagt formulerad.
(man hade kunnat stryka eftersom nummer 2 i mitt resonemang)
Det är jättesvårt att göra ett korrekt bevis i 9:an. I gymnasiet också skulle jag säga.
Redan på 2:a raden där du skriver m=4k hamnar du snett tror jag. Där påstår du att m är jämnt delbart med 4 men det är precis det som du ska visa. Sedan på raden efter gör du samma sak igen, d.v.s. du utgår från att det du ska visa är sant.
Försök istället manipulera högerledet så att det blir tydligt att det är jämnt delbart med 4. Alternativt, om ni har gått igenom induktionsbevis, så använder du det. Ett tips kan vara att titta på 2 fall. Först för jämna n, sedan för udda n. (Det blir ju olika tecken på (-1)n då).
Visst jag förstår, var lite otydlig med det men m=4k var ett antagande för att kunna skriva ett direktbevis. Går det inte att bevisa utsagan med ett db?
Att när n är ett udda tal ignorerade jag lite, var så övertygad att det inte kunde vara udda, då jag ställde upp en kvot som visade att det inte kunde vara udda, det var kanske fel? Borde jag testa ett induktionsbevis?
Jag vet inte vad db är. Direktbevis, kanske. Men det vet jag inte heller vad det är. Kanske motsatsen till induktionsbevis?
När jag lusläser frågan ser jag att den är lite otydlig "för något positivt heltal n" står det men jag antar att man ska bevisa det för alla positiva heltal n. Annars blir det inte mycket till bevis. Då kan man bara välja ett n och konstatera att HL är jämnt delbart med 4.
...som visade att det inte kunde vara udda...
Det "visade" du genom att först anta att m är jämnt delbart med 4 på rad 3. Testa att sätta in något udda n, så ser du att m är delbart med 4 för det n:et.
Jag skulle dela upp det i 2 fall. Börja med jämna n, så här:
m=1+(-1)n(2n-1)=[n är jämnt och positivt]=1+2n-1=[här skriver du om uttrycket så att det blir tydligt att det är jämnt delbart med 4]=...
Och sedan gör du likadant för udda n.
Är det fel att anta att m är jämnt och varför är det det? Troligtvis enklare att omformulera HL för att visa hur ekvivalensen stämmer, som du sade… (ifrågasätter för jag vill lära mig det…)
Ska sätta mig och skriva beviset nu!
Vad är det ”korrekta” beviset enligt dig, är det ett induktionsbevis eller som du instruerade mig att göra?
(ett direktbevis är när man antar att P är sant och därmed även Q. Så man visar att i varje situation där P är sant är även Q sant)
Vad är det ”korrekta” beviset...
Det är det som är det sköna med bevis. Så länge man följer logiska lagar och håller sig till ekvivalenser så är beviset "korrekt". Man kan i allmänhet bevisa samma sak på många sätt. Ofta strävar man efter att hitta ett enkelt bevis.
Är det fel att anta att m är jämnt ...
Ja, det är fel. Du ska visa att det är delbart med 4. Då ska du inte utgå från att det redan är delbart med 2 (vilket alla jämna tal är). Då har du så att säga förbisett/hoppat över "halva" beviset.
Jag har kommit fram till med ett bevis att m är jämnt, dock vet jag inte hur jag ska manipulera HL så att jag kan dela det med 4.
Det enda jag lyckas med är att göra ett antagande att m=4k:
(har inte skrivit för ett udda tal ännu….)
detta är så långt jag kommer
alltså jag vet inte hur jag ska skriva om uttrycket så att jag kan faktorisera ut en fyra
Kanon! Du har kommit fram till att (för alla jämna positiva heltal n):
m=2n
Om n är ett jämnt positivt heltal så kan du skriva det som:
n=2k, där k är ett positivt heltal (d.v.s k är minst 1)
Använd det så här:
m=2n=2*2k=4k, där k är enligt ovan. D.v.s. m är jämnt delbart med 4 och kvoten är k (som är ett heltal).
EDIT: Jag har alltså inte antagit något om m. Jag har bevisat att m är delbart med 4 (inte antagit) när n är jämnt och positivt.
Försök göra samma för udda n. Det är lite bökigare.
Aha missade detaljen! 😡
Detta borde stämma nu….
Njae, du gör ett teckenfel mellan rad 2 och 3:
m=1-(2n-1)=1-2n+1
Har suttit för länge, teckenfelet beror nog på det… :). (vet att jag inte borde säga ifrån mig haha🤣)
Snyggt! Ja, man behöver vila också. Ibland behöver man sova och ibland behöver man bara ta en paus.
Du har gjort samma teckenfel igen när du sätter in n=2k+1 i 2(1-n). Men det påverkar inte lösningen så mycket. Det är rörigt med de här "±1:orna".
Ett positivt udda heltal kan man skriva på många sätt t.ex.
n=2k+1, för k=0, 1, 2, 3,...
eller
n=2k-1, för k=1, 2, 3,...
Du använde den första och gjorde ett teckenfel och hamnade på den andra 😀. Som du kanske ser så är det lite viktigt att tala om för vilka k som beviset gäller. Om du orkar kan du prova bägge varianter och se att det går att bevisa i bägge fall. Men var noga med tecknen. Det är inget du behöver lägga upp här på PA. Du är klar, tycker jag. Grattis!
Ett intressant fall.
Snarast en fråga från mig. Kan vi tänka så här?
Om vi tittar på delarna i påståendet.
Om vi först tittar på för n = 1, 2, 3, 4, 5... så får vi -1, 1, -1, 1, -1... Dvs. udda tal ger -1 och jämna tal ger +1
Tittar vi på för n = 1, 2, 3, 4, 5... så får vi 1, 3, 5, 7, 9...
Vad händer när vi multiplicerar de två uttrycken? Vi får för n = 1, 2, 3, 4, 5... -1, +3,-5, +7, -9...
Om vi då tittar på hela uttrycket och ser vad m blir för n = 1, 2, 3, 4, 5...
så får vi 0, +4, -4, +8, -8...
För jämna tal får vi 4, 8, 12, 16, 20... En aritmetisk talföljd med differensen 4.
För udda tal får vi 0, -4, -8, -12, -16, -20... också en aritmetisk talföljd fast med differensen -4.
Både jämna och udda tal ger talföljder som är delbara med 4.
Därför gäller påståendet v.s.v.
Kan det här vara rätt sätt att tänka?
Försökte också resonera på detta vis, då kan man säga att vartannat jämnt tal är delbart med fyra, vilket är vad din aritmetiska talföljd med differensen 4 visar. Då gäller det att visa hur m=1+(-1)^n(2n-1) är en del av denna aritmetiska talföljd…. (vilket du redan gjort)
Båda bevisen är korrekta hade jag sagt (du får rätta mig om mitt är fel) det var lite som Peter sade, att med bevis har man friheten att skriva som man vill, så länge det är korrekt :)
ConnyN skrev:Ett intressant fall.
Snarast en fråga från mig. Kan vi tänka så här?Om vi tittar på delarna i påståendet.
Om vi först tittar på för n = 1, 2, 3, 4, 5... så får vi -1, 1, -1, 1, -1... Dvs. udda tal ger -1 och jämna tal ger +1
Tittar vi på för n = 1, 2, 3, 4, 5... så får vi 1, 3, 5, 7, 9...
Vad händer när vi multiplicerar de två uttrycken? Vi får för n = 1, 2, 3, 4, 5... -1, +3,-5, +7, -9...
Om vi då tittar på hela uttrycket och ser vad m blir för n = 1, 2, 3, 4, 5...
så får vi 0, +4, -4, +8, -8...För jämna tal får vi 4, 8, 12, 16, 20... En aritmetisk talföljd med differensen 4.
För udda tal får vi 0, -4, -8, -12, -16, -20... också en aritmetisk talföljd fast med differensen -4.Både jämna och udda tal ger talföljder som är delbara med 4.
Därför gäller påståendet
v.s.v.
Kan det här vara rätt sätt att tänka?
Kul! Det går ju bra vilket som. Att bevisa saker kräver lite vana och att göra det i 9:an är imponerande! Jag hade inte haft en chans att lösa denna i 9:an kan jag säga. Visste nog inte vad ett bevis var.
Tackar för hjälpen!