Bevis för automorfigrupp

Vad är definitionen av en automorfigrupp?

Vi tror att vi har lyckats bevisa 4,5,6 och vi tror att vi har lyckas med punkt 1 och 2 men vi förstår inte vad vi ska göra i punkt 3

En automorfi kan inte vara en grupp. Jag tolkar det som att du vill visa att mängden

$A:=\{z\mapsto az+b: a,b\in \mathbb{C}, a\neq 0\}$

är en grupp under komposition.

Du kan t.ex. kalla elementet $z\mapsto az+b$ i $A$ för $f_{a,b}$. Så $f_{a,b}(z) = az +b$. Sedan behöver du visa att dessa element uppfyller villkoren för att vara en grupp.

Till exempel är identitetselementet $f_{1,0}$. Associativitet följer av att komposition av funktioner är en associativ operation. Se om du kan visa att $A$ är sluten och vad inversen till $f_{a,b}$ skulle kunna vara.

Är detta rätt och i såfall har jag ju visat bilkor 4,5,6  men har som sagt problem med villkor 3

Ursäkta, jag kan tydligen inte läsa. Missade det du skrev i ditt andra inlägg.

Låt $z_0\in D$. Om $f(z_0) = z_0$, dvs. om $az_0 + b = z_0$, så måste $b = (1-a)z_0$. Med andra ord måste $f$ vara på formen

$f(z) = a(z-z_0)+z_0$.

Eftersom $f'(z)=a$, så måste $a=\alpha$.

Så $f(z) = \alpha(z-z_0)+z_0$.

Det finns alltså bara en sådan $f$ givet villkoren i (iii). Vidare så är $f$ en bijektiv automorfi. Om vi vill att $f$ bevarar metriken på sfären (speciellt avstånd) så kommer detta bara ske då $|\alpha|=1$.

Då är jag med på hur man gör men vad säger detta oss? En annan fråga. Skulle man göra samma sak om man ville bevisa att till exempel Auto(c(topp)) tillhör automorfigruppen?

Villkoret (iii) säger i princip att givet vilken punkt på sfären som helst, så finns en automorfi som roterar övriga punkter kring den punkten. Punkten z mappas till sig själv, och det sker ingen skalning då modulus är 1. En skalning skulle inte heller bevara avstånd, så det tillåts inte. Villkoret säger även att rotationen ska vara unik, dvs. att det inte finns två olika automorfier som verkar som samma rotation. Detta står också i texten du bifogade.

Vi ser detta algebraiskt genom att villkoret att $f$ fixerar $z$ gör att $b$ är entydigt bestämt av $a$, och villkoret $f'(z)=\alpha$ gör att $a$ är entydigt bestämt av $\alpha$. Eftersom en funktion $f(z)=az+b$ är entydigt bestämd av talen $a$ och $b$ betyder det att det finns exakt en sådan $f$ för varje $z$. 

Jag är inte säker på att jag förstår din andra fråga. Menar du hur man kan visa att $\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ uppfyller villkoren (i)-(vi)?

Ja exakt men framförallt villkor 3. Gör man på samma sätt som förut för att visa att det villkoret uppfylls?

Om du med $\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ menar gruppen av Möbiustransformationer så uppfyller dessa inte villkoret (iii) vad jag kan se. Till exempel är $f(z)=2z$ en Möbiustransformation och automorfi av $\hat{\mathbb{C}}$ som inte uppfyller villkoret (iii). Vi har ju att $f(0)=0$ men $f'(0)=2$.

Hur definierar boken automorfigruppen?

Det som gäller (tror jag) är att mängden av Möbiustransformationer som uppfyller villkoret (iii) är $PSU(2)$, eller projective special unitary group. Detta är geometriskt mängden av rigida rotationer av en 3D-sfär. Kanske är det något sådant du frågar efter?

Jag kanske har varit ute och cyklat. Finns det ens något som är en automorfigrupp? Jag tänkte att om den uppfyller alla sex villkor så är det en automorfigrupp men tror jag har missuppfattat det. Tänker jag rätt att för att det ska vara en grupp så måste villkor 4,5,6 uppfyllas och för att det ska vara en automorfi ska villkor 1,2,3 uppfyllas?

En grupp är en mängd $G$ tillsammans med en operation $\circ:G\times G \to G$ som uppfyller följande villkor: 

i) Operationen är associativ, dvs för alla $a,b,c \in G$ så är $(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)$
ii) Det finns ett element $e\in G$ så att för alla $a \in G$ är $a\circ e = e\circ a = a$ (identitetselement).
iii) Det finns en invers till varje element, dvs för alla $a\in G$ finns ett $b \in G$ så att $a\circ b = b\circ a= e.$

I ditt exempel ovan är $G$ en mängd av funktioner, operationen $\circ$ är komposition och Identitetselementet är funktionen $f(z) \equiv z$. 

Den definition jag tänker är en automorfi skiljer sig från det som står i din bild. Därför tänker jag inte kommentera på några villkor! 

Så de är kraven för att de ska vara en grupp men vad är de andra kraven? Är det bara ytterligare krav som måste funktionen måste uppfyll?

Jag är osäker där. Själva definitionen av vad (jag tänker är) en automorfi är är inte kraven 1, 2, 3 i din bild. Jag vet inte riktigt vad de kraven i din bild kommer ifrån (bortsett från att bara vara en definition såklart!).

Jag har funderat lite till och skriver ner vad jag kommit fram till.

En automorfi rent generellt kan förstås som auto (=en mappning från ett objekt till sig självt) + morfi (=som bevarar objektets struktur). Det som gör det lite oklart här är att det inte är jättetydligt vilken själva strukturen är.

Algebraiskt perspektiv: Om vi ser $\mathbb{C}$ som en kropp så är en automorfi en bijektiv ringisomorfi $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. Det är inte detta som avses.

Geometriskt perspektiv: Det går också att se $\mathbb{C}$ som en (komplex) mångfald. Då utgörs automorfier av funktioner som bevarar den topologiska och den komplexa strukturen. En sådan automorfi definieras av att den är en (komplex-)differentierbar bijektion var invers också är differentierbar. Med andra ord, en analytisk bijektion vars invers också är analytisk.

Oavsett vilken definition på automorfi man har (vilken struktur vi väljer att betrakta) så bildar mängden av alla automorfier $\operatorname{Aut}(X)$ av något objekt $X$ en grupp under komposition. Vi får en alltså en grupp $\operatorname{Aut}(X)$ vad $X$ än är: mångfald, vektorrum, grupp, mängd, ...

Alltså: Vi definierar automorfigruppen $\operatorname{Aut}(X)$ av något objekt $X$ som gruppen bestående av alla automorfier av $X$ under komposition av funktioner.

Med den geometriska definitionen av automorfier kan man visa att automorfierna av det komplexa talplanet, $\operatorname{Aut}(\mathbb{C})$, utgörs precis av funktionerna $z\mapsto az+b$, för $a\neq 0$. Man kan också visa att automorfierna av Riemannsfären $\hat{\mathbb{C}}$ utgörs av Möbiustransformationerna.

Vad som händer i bokens definition 5.4.1. är att man börjar från andra hållet: Vi tar en mängd funktioner och ställer upp ett antal villkor som måste gälla för att den mängden ska få kallas en automorfigrupp. Man använder alltså inte någon definition av automorfier explicit, utan man definierar mer axiomatiskt vad som ska gälla för mängden.

Den geometriska definitionen av automorfigruppen av komplexa mångfalder prickas in i definition 5.4.1 av de bijektioner som uppfyller villkoren (i), (iv), (v), och (vi). 

Villkoret (ii) säger i princip att området D är homogent. Det betyder ungefär att D ser likadant ut från alla möjliga punkter, att det inte finns några speciella punkter. Vi kan med en automorfi ta oss från vilken punkt som helst till en annan. Det verkar dock stå lite fel i boken, för $z$ och $w$ borde ligga i $D$ och inte i $\hat{\mathbb{C}}$.

Villkoret (iii) utesluter vissa typer av automorfier. Samtliga automorfier av det komplexa talplanet utgörs som tidigare nämnts av funktioner på formen $z\mapsto az+b$. Till exempel är $f(z)=2z$ en automorfi av $\mathbb{C}$. Denna automorfi bevarar dock inte det vanliga Euklidiska avståndet $d(z,w) = |z-w|$, eftersom den skalar upp allt med en faktor 2. Villkor (iii) ser till att detta inte är tillåtet, utan de automorfier som blir kvar när vi kräver villkor (iii) är de Euklidiska rigida transformationerna, dvs. de transformationerna av det komplexa talplanet där vi endast tillåts att rotera och translatera. Dessa automorfier utgörs av de automorfier för vilka $|a|=1$, och blir på formen $f(z) = e^{i\theta}z + b$. (Rotation + translation.)

Något liknande händer på Riemannsfären $\hat{\mathbb{C}}$. Automorfigruppen utgörs här av Möbiustransformationerna: $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$, där $ad-bc\neq 0$. Till exempel är den tidigare $f(z)=2z$ en Möbiustransformation och en automorfi av Riemannsfären. Geometriskt så kan man förstå denna transformation som att alla punkter på sfären (utom nord- och sydpolen som är fixerade) glider uppåt, olika mycket beroende på deras position. En sådan transformation bevarar inte standardmetriken på Riemannsfären, just eftersom olika punkter förflyttas olika mycket. (Däremot bevaras alla vinklar!) 

Villkoret (iii) utesluter denna automorfi eftersom vi t.ex. har att $f(0)=0$ men $f'(0) = 2 \neq 1$. Efter vi infört villkor (iii) har vi bara kvar de Möbiustransformationer som roterar sfären (alltså som att du snurrar på en jordglob).

Tillägg: 22 maj 2026 01:05

Sammanfattning: Villkoren i 5.4.1, specifikt villkor (iii), gör så att de automorfier man definierar bevarar lite mer struktur än bara den som finns i en komplex mångfald: de gör så att eventuell metrik och avstånd också bevaras. Det blir automorfier av Riemannmångfalder, vilka är objekt bestående av en differentierbar mångfald plus en Riemannmetrik.

Tack så mycket för hjälpen Gustor och AlexMu. Tror jag börjar förstå vad det är jag gör samt hur jag ska gå tillväga!