Bevis för automorfigrupp

Vad är definitionen av en automorfigrupp?

Vi tror att vi har lyckats bevisa 4,5,6 och vi tror att vi har lyckas med punkt 1 och 2 men vi förstår inte vad vi ska göra i punkt 3

En automorfi kan inte vara en grupp. Jag tolkar det som att du vill visa att mängden

$A:=\{z\mapsto az+b: a,b\in \mathbb{C}, a\neq 0\}$

är en grupp under komposition.

Du kan t.ex. kalla elementet $z\mapsto az+b$ i $A$ för $f_{a,b}$. Så $f_{a,b}(z) = az +b$. Sedan behöver du visa att dessa element uppfyller villkoren för att vara en grupp.

Till exempel är identitetselementet $f_{1,0}$. Associativitet följer av att komposition av funktioner är en associativ operation. Se om du kan visa att $A$ är sluten och vad inversen till $f_{a,b}$ skulle kunna vara.

Är detta rätt och i såfall har jag ju visat bilkor 4,5,6  men har som sagt problem med villkor 3

Ursäkta, jag kan tydligen inte läsa. Missade det du skrev i ditt andra inlägg.

Låt $z_0\in D$. Om $f(z_0) = z_0$, dvs. om $az_0 + b = z_0$, så måste $b = (1-a)z_0$. Med andra ord måste $f$ vara på formen

$f(z) = a(z-z_0)+z_0$.

Eftersom $f'(z)=a$, så måste $a=\alpha$.

Så $f(z) = \alpha(z-z_0)+z_0$.

Det finns alltså bara en sådan $f$ givet villkoren i (iii). Vidare så är $f$ en bijektiv automorfi. Om vi vill att $f$ bevarar metriken på sfären (speciellt avstånd) så kommer detta bara ske då $|\alpha|=1$.

Då är jag med på hur man gör men vad säger detta oss? En annan fråga. Skulle man göra samma sak om man ville bevisa att till exempel Auto(c(topp)) tillhör automorfigruppen?

Villkoret (iii) säger i princip att givet vilken punkt på sfären som helst, så finns en automorfi som roterar övriga punkter kring den punkten. Punkten z mappas till sig själv, och det sker ingen skalning då modulus är 1. En skalning skulle inte heller bevara avstånd, så det tillåts inte. Villkoret säger även att rotationen ska vara unik, dvs. att det inte finns två olika automorfier som verkar som samma rotation. Detta står också i texten du bifogade.

Vi ser detta algebraiskt genom att villkoret att $f$ fixerar $z$ gör att $b$ är entydigt bestämt av $a$, och villkoret $f'(z)=\alpha$ gör att $a$ är entydigt bestämt av $\alpha$. Eftersom en funktion $f(z)=az+b$ är entydigt bestämd av talen $a$ och $b$ betyder det att det finns exakt en sådan $f$ för varje $z$. 

Jag är inte säker på att jag förstår din andra fråga. Menar du hur man kan visa att $\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ uppfyller villkoren (i)-(vi)?

Ja exakt men framförallt villkor 3. Gör man på samma sätt som förut för att visa att det villkoret uppfylls?

Om du med $\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ menar gruppen av Möbiustransformationer så uppfyller dessa inte villkoret (iii) vad jag kan se. Till exempel är $f(z)=2z$ en Möbiustransformation och automorfi av $\hat{\mathbb{C}}$ som inte uppfyller villkoret (iii). Vi har ju att $f(0)=0$ men $f'(0)=2$.

Hur definierar boken automorfigruppen?

Det som gäller (tror jag) är att mängden av Möbiustransformationer som uppfyller villkoret (iii) är $PSU(2)$, eller projective special unitary group. Detta är geometriskt mängden av rigida rotationer av en 3D-sfär. Kanske är det något sådant du frågar efter?

Jag kanske har varit ute och cyklat. Finns det ens något som är en automorfigrupp? Jag tänkte att om den uppfyller alla sex villkor så är det en automorfigrupp men tror jag har missuppfattat det. Tänker jag rätt att för att det ska vara en grupp så måste villkor 4,5,6 uppfyllas och för att det ska vara en automorfi ska villkor 1,2,3 uppfyllas?

En grupp är en mängd $G$ tillsammans med en operation $\circ:G\times G \to G$ som uppfyller följande villkor: 

i) Operationen är associativ, dvs för alla $a,b,c \in G$ så är $(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)$
ii) Det finns ett element $e\in G$ så att för alla $a \in G$ är $a\circ e = e\circ a = a$ (identitetselement).
iii) Det finns en invers till varje element, dvs för alla $a\in G$ finns ett $b \in G$ så att $a\circ b = b\circ a= e.$

I ditt exempel ovan är $G$ en mängd av funktioner, operationen $\circ$ är komposition och Identitetselementet är funktionen $f(z) \equiv z$. 

Den definition jag tänker är en automorfi skiljer sig från det som står i din bild. Därför tänker jag inte kommentera på några villkor!