Bevisa att 2 på varandra följande jämna tal har en produkt som är delbar med 8

Om $n$ är udda kommer $n+1$ vara jämnt, och om $n$ är jämnt - ja, då är det jämnt. Ett jämnt tal kan alltid skrivas som $2k$ för något heltal $k$.

Ok, men om vi skulle förutsätta att n är ett jämnt tal kan det skrivas som en faktor innehållande talet 2. Vad händer med resten, dvs. (n+1)?

Det blir $2k+1$ då.

Uppgiften gäller två på varandra följande jämna tal, t.ex. 54 och 56.

54 kan man skriva som 2*27, och ...

Läste inte ens uppgiftsbeskrivningen innan jag svarade på frågan. Mitt fel!

Har fortfarande lite svårt att begripa hur ett av talen kan skrivas som en tvåa…

Vad menar du med att ett av talen kan "skrivas som en tvåa"?

Facit säger ”den sistas likheten motiveras av att n eller n+1 är ett jämnt tal. Alltså skriver facit till slut 2*2*2*m. Hur kommer den tredje tvåan in i bilden + m? Ser ni min bild från första inlägget?

Jag ser ingen bild.

Om du fortsätter på mitt inlägg kommer du nog fram till att 56 också är 2 gånger något, nämligen 2*28.

Nu råkade ett av talen 27 och 28 vara jämnt. Har vi ofta sådan tur?

Ok, så 54 = 2*27 och 56= 2*28 och om en tvåa bryts ut får vi 2(27, 28). Något sådant?

Är jag på rätt väg?

Jag antar att du är med på att produkten kan skrivas

2*2*n(n+1)

n kan nu antingen vara jämnt (=2p) eller udda (=2p+1)

Vi får då

n jämnt: 2*2*2p(2p+1) = 8*någonting

n udda: 2*2*(2p+1)(2p+2)=2*2*2(2p+1)(p+1) = 8*någonting

Alltså är, oavsett n, produkten delbar med 8.

Tack för den tydliga förklaringen! Kan man alltid dela upp det i 2 ”fall” som du har gjort? Dvs. Då n är udda respektive jämnt?

Anonym_15 skrev:

Tack för den tydliga förklaringen! Kan man alltid dela upp det i 2 ”fall” som du har gjort? Dvs. Då n är udda respektive jämnt?

Ja, det finns bara två fall, 2p och 2p+1, och ofta får man enkla räkningar.

En intuitiv förklaring är att vartannat jämnt tal är delbar med 4. Därmed, av två på varandra följande tal är den enda delbar med 2 (jämnt) och den andra delbar med 4. Då måste produkten vara delbar med 8.