13 svar
114 visningar
Axiom behöver inte mer hjälp
Axiom 997
Postad: 24 jan 19:28

Bevisa att absolut belopp är mindre än ett annat

Jag förstår att man delar upp fallen. 

Men jag förstår inte hur man kan anta det sista steget. Till exempel hur kan  man anta att -a-b=-a+b?

Det förstår jag inte alls, kan någon förklara?

LuMa07 116
Postad: 24 jan 19:42 Redigerad: 24 jan 19:44

Absolutbeloppet är en styckvis definierad funktion:

x=xdå x0, d.v.s. om x är positivt (eller noll)-xdå x0, d.v.s. om x är negativt (eller noll)\left| x \right|=\left\{\begin{array}{lc}x&\text{då }x\ge 0\text{, d.v.s. om}\;x\;\text{är positivt (eller noll)}\\-x&\text{då }x\le 0\text{, d.v.s. om}\;x\;\text{är negativt (eller noll)}\end{array}\right.

I det sista steget i det sista fallet antar man att aa är positivt och att bb är negativt.

  • Eftersom aa är positivt, så är |a|=a|a| = a enligt absolutbeloppets definition.
  • Eftersom bb är negativt, så är |b|=-b|b| = -b enligt absolutbeloppets definition.

Därmed blir -a-b=-a=|a|+(-b)=|b|=-a+b-a - b = - \underbrace{a}_{=|a|} + \underbrace{(-b)}_{=|b|} = -\left|a\right| + \left|b \right|.

naytte 5414 – Moderator
Postad: 24 jan 21:19

Denna olikhet kallas för övrigt för triangelolikheten.

Laguna Online 30881
Postad: 24 jan 21:27
naytte skrev:

Denna olikhet kallas för övrigt för triangelolikheten.

Den gäller även för vektorer, om man undrar var triangeln är någonstans.

LuMa07 skrev:

Absolutbeloppet är en styckvis definierad funktion:

x=xdå x0, d.v.s. om x är positivt (eller noll)-xdå x0, d.v.s. om x är negativt (eller noll)\left| x \right|=\left\{\begin{array}{lc}x&\text{då }x\ge 0\text{, d.v.s. om}\;x\;\text{är positivt (eller noll)}\\-x&\text{då }x\le 0\text{, d.v.s. om}\;x\;\text{är negativt (eller noll)}\end{array}\right.

I det sista steget i det sista fallet antar man att aa är positivt och att bb är negativt.

  • Eftersom aa är positivt, så är |a|=a|a| = a enligt absolutbeloppets definition.
  • Eftersom bb är negativt, så är |b|=-b|b| = -b enligt absolutbeloppets definition.

Därmed blir -a-b=-a=|a|+(-b)=|b|=-a+b-a - b = - \underbrace{a}_{=|a|} + \underbrace{(-b)}_{=|b|} = -\left|a\right| + \left|b \right|.

Hur kommer det sig att du har <= 0? Den olikheten ska väl vara strikt.

LuMa07 116
Postad: 24 jan 23:11
MrPotatohead skrev:
LuMa07 skrev:

Absolutbeloppet är en styckvis definierad funktion:

x=xdå x0, d.v.s. om x är positivt (eller noll)-xdå x0, d.v.s. om x är negativt (eller noll)\left| x \right|=\left\{\begin{array}{lc}x&\text{då }x\ge 0\text{, d.v.s. om}\;x\;\text{är positivt (eller noll)}\\-x&\text{då }x\le 0\text{, d.v.s. om}\;x\;\text{är negativt (eller noll)}\end{array}\right.

Hur kommer det sig att du har <= 0? Den olikheten ska väl vara strikt.

Vill man vara noggrann med definitionen av styckvis definierade funktioner, så får ett xx-värde inte förekomma i flera av fallen i falluppdelningen (precis som du skriver).

Å andra sidan ger formlerna "xx" och "-x-x" samma resultat ifall x=0x=0, så formlerna motsäger inte varandra just i denna punkt. Därmed spelar det inte särskilt stor roll om gränspunkten x=0x=0 inkluderas på första raden, eller på andra raden, eller på båda i definitionen av absolutbeloppet.

Axiom 997
Postad: 25 jan 11:49
LuMa07 skrev:

Absolutbeloppet är en styckvis definierad funktion:

x=xdå x0, d.v.s. om x är positivt (eller noll)-xdå x0, d.v.s. om x är negativt (eller noll)\left| x \right|=\left\{\begin{array}{lc}x&\text{då }x\ge 0\text{, d.v.s. om}\;x\;\text{är positivt (eller noll)}\\-x&\text{då }x\le 0\text{, d.v.s. om}\;x\;\text{är negativt (eller noll)}\end{array}\right.

I det sista steget i det sista fallet antar man att aa är positivt och att bb är negativt.

  • Eftersom aa är positivt, så är |a|=a|a| = a enligt absolutbeloppets definition.
  • Eftersom bb är negativt, så är |b|=-b|b| = -b enligt absolutbeloppets definition.

Därmed blir -a-b=-a=|a|+(-b)=|b|=-a+b-a - b = - \underbrace{a}_{=|a|} + \underbrace{(-b)}_{=|b|} = -\left|a\right| + \left|b \right|.

Jag förstår det med att absolutbeloppet är en styckvis definerad funktion. Att om det är negativt inom beloppet behöver man ta *-1 och om positivt gör absolutbelopper ingen verkan. Men hur kan -a+-b = -a+b

borde det inte bara vara a+b? Varför finns minus tecknet med?

D4NIEL Online 3039
Postad: 25 jan 12:05 Redigerad: 25 jan 12:08

Jag tror du tänker på det fjärde fallet där

  • aa är större än (eller lika med)  0
  • bb är mindre än (eller lika med) 0
  • absolutbeloppet av a a är mindre än absolutbeloppet av b b .

Då är a+b0a+b\leq 0 vilket betyder att absolutbeloppet blir:

|a+b|=-(a+b)=-a-b |a+b| =-(a+b)=-a-b

Här har vi använt regeln att absolutbeloppet av ett negativt tal c=a+bc=a+b är |c|=-c|c|=-c och sedan tagit bort parentesen. I nästa steg utnyttjar vi att vi vet att |a|=a|a|=a samt att |b|=-b|b|=-b enligt våra antaganden om aa och bb i punktlistan ovan. Alltså kan vi substituera:

-a-b=-|a|+|b|-a-b=-|a|+|b|

Är du med?

Axiom 997
Postad: 25 jan 12:13 Redigerad: 25 jan 12:15
D4NIEL skrev:

Jag tror du tänker på det fjärde fallet där

  • aa är större än (eller lika med)  0
  • bb är mindre än (eller lika med) 0
  • absolutbeloppet av a a är mindre än absolutbeloppet av b b .

Då är a+b0a+b\leq 0 vilket betyder att absolutbeloppet blir:

|a+b|=-(a+b)=-a-b |a+b| =-(a+b)=-a-b

Här har vi använt regeln att absolutbeloppet av ett negativt tal c=a+bc=a+b är |c|=-c|c|=-c och sedan tagit bort parentesen. I nästa steg utnyttjar vi att vi vet att |a|=a|a|=a samt att |b|=-b|b|=-b enligt våra antaganden om aa och bb i punktlistan ovan. Alltså kan vi substituera:

-a-b=-|a|+|b|-a-b=-|a|+|b|

Är du med?

Det är jätte fint förklarat men jag förstår inte riktigt hur vi får säga at -a-b= -a+b, försvinner inte minustecknet vid belopp. Hur kan vi substituera till -a?

Ledsen för att jag inte förstår

Edit: Vänta lite, tänker man att om a=aså är -a=-a

som att man skulle ta gånger minus 1 på båda sidor? Men varför gör man inte så med b också?

D4NIEL Online 3039
Postad: 25 jan 12:15

Är du med på att |a|=a|a|=a och att det betyder att -|a|=-a-|a|=-a?

Tex. är |4|=4|4|=4 och därmed är -|4|=-4-|4|=-4

Axiom 997
Postad: 25 jan 12:16
D4NIEL skrev:

Är du med på att |a|=a|a|=a och att det betyder att -|a|=-a-|a|=-a?

Tex. är |4|=4|4|=4 och därmed är -|4|=-4-|4|=-4

Ja okej! Menn varför gör man inte så med b också? den är ju också negativ. Och varför gör man inte så för -a-b som bara blir a+b?

D4NIEL Online 3039
Postad: 25 jan 12:18

Ja, tänk också på att b är mindre än noll enligt antagandet, alltså gäller

+|b|=-b+|b|=-b

Ett exempel är +|-8|=-(-8)+|-8|=-(-8)

Är du med?

Axiom 997
Postad: 25 jan 12:21
D4NIEL skrev:

Ja, tänk också på att b är mindre än noll enligt antagandet, alltså gäller

+|b|=-b+|b|=-b

Ett exempel är +|-8|=-(-8)+|-8|=-(-8)

Är du med?

Jag tror att jag börjar förstå, det där är nog den bästa förklaringen man kan få. Det tar bara tid att vänja sig vid att hantera absolut belopp på detta sätt. Tack så jätte jätte mycket för hjälpen!!!

D4NIEL Online 3039
Postad: 25 jan 12:22 Redigerad: 25 jan 12:25

Det kan krångla till sig lite eftersom ++ och -- negerar varandra i flera steg. Det kan bli väldigt rörigt första gången man stöter på den här typen av uppgifter!

Men du kan alltid sätta in t.ex. a=4a=4 och b=-8b=-8 som uppfyller att

|a|<|b||a|<|b|

a>0a > 0

b<0b< 0

Med konkreta exempel tror jag det klarnar. Och räkna flera uppgifter såklart så blir det enklare med tiden.

Svara
Close