Bevisa att alla linjer som passerar origo är underrum till R3

Halloj!

Jag håller på att läsa i min kursbok för en fortsättningskurs i linjär algebra och författarna tog upp ett exempel på ett underrum till $\mathbb{R}^3$ , nämligen mängden av alla linjer i $\mathbb{R}^3$ som passerar origo. Författarna påstod detta utan vidare motivering, så det verkar som ett ypperligt tillfälle att försöka bevisa det själv. Nedan följer mitt försök:

Låt $M:=\{ tv:v\in\mathbb{R}^3,t\in\mathbb{R} \}$ . $M$ är uppenbarligen icke-tom, och uppenbarligen en delmängd till $\mathbb{R}^3$ . Därför måste vi bara titta slutenhet under addition och skalärmultiplikation.

Låt $u,v\in M$ . För två konstanter $t_1, t_2$ har vi då $u = t_1 v$ samt $v = t_2 v$ . Det följer att $u+v = (t_1+t_2)v$ . Det är uppenbart att $(t_1+t_2) v \in M$ , ty $\mathbb{R}$ är sluten under addition, varför $t_1+t_2 \in \mathbb{R}$ .

Låt vidare $p \in M$ och $\alpha \in \mathbb{R}$ . $p \cdot \alpha = \alpha t v$ . Det gäller även här ganska uppenbarligen att $\alpha t v \in M$ , ty $\mathbb{R}$ är sluten under multiplikation, varför $\alpha t \in \mathbb{R}$ .

Följaktligen har vi alltså att $M$ är ett underrum till $\mathbb{R}^3$ .

Ser detta bra ut?

Jag hänger inte riktigt med på vad påståendet vi vill visa är. Två saker förvirrar mig:

Så som du har definierat M så kommer M att vara lika med hela R^3.
Om vi bokstavligen vill att M ska vara mängden av alla linjer i R^3 genom origo så borde vi skriva något i stil med M={{tv : t i R} : v i R^3}}. Detta är dock inget underum till R^3 (det är inte ens en delmängd, eftersom elementen är mängder snarare än vektorer).

Så jag bollar tillbaka frågan till dig: vad exakt vill vi bevisa?

Detta får mig att tänka på ett citat från Goethe som fanns i vår lärobok i linjär algebra.

Tror det gick som:

- - -

Matematiker äro som fransmän. Vad man än säga åt dem så översätta de till sitt eget språk, och genast är det något helt annat.

- - -

@oggih,

inser nu att jag läste fel i boken, det stod tydligen "räta linjer genom origo", inte mängden av alla sådana. Och du har givetivs rätt i att mängden jag definierade bara är hela $\mathbb{R}^3$ . Jag tänkte att vi fixerar $v$ till något element i $\mathbb{R}^3$ (men skrev uppenarligen något annat), och sedan kör på som jag gjorde ovan.

Om v är fixerat, så att M med andra ord är span({v}), så tycker jag ovanstående ser bra ut.

Några småsaker:

Eftersom vi har fixerat v kan du inte säga "låt v vara ett element i M". Det makear heller inte sense att skriva "v=t_2v".
I andra stycket förklarar du inte vad t är (även om det framgår från sammanhanget att du menar att eftersom p ligger i M så finns det något t sådant att p=tv).
Ett stilistiskt råd är att inte skriva att saker är "uppenbara" i ett bevis, eftersom det kan uppfattas som att man är lite nedlåtande och/eller för lat för att förklara något ordentligt. Om det man påstår skulle råka vara felaktigt blir dessutom fallhöjden ganska stor om man precis har påstått att det är "uppenbart" 😉

Hehe det var inte mycket som gick rätt till i #1... 😅

Var så borta i tankarna att jag blandade ihop mina variabelval och beteckningar. Håller givetvis med dig till fullo angående punkt 1!

Håller dessutom med om punkt 3. Det är en dålig vana som jag försöker jobba bort. Problemet är att författarna av min bok skriver så, så det liksom färgar av sig lite.

Att skriva det man menar är lättare sagt är gjort – som Patenterameras underbara Goethe-citat illustrerar! 😁

Om du vill kan du generalisera det du gör i ditt bevis till att visa att för alla naturliga tal n och r, och alla samlingar vektorer v_1,...,v_r i R^n så är mängden

span{v_1,...,v_r}:={Linjärkombinationer av v_1,...,v_r}

ett underrum till R^n.

Svara

Visa senaste svar