Bevisa att likheten för alla värden på k

Jag påbörjade mitt resonemang så hör

Ditt resonemang blir cirkulärt eftersom att du redan antar att påståendet stämmer. För att bevisa att likheten är sann så är det nog enklast att använda sig av induktionsbevis.

1) Visa att det stämmer för k=1

2)Visa att det stämmer för k=p, p är ett heltal

3)Visa att det stämmer för k=p+1

Om (3) stämmer så har du visat att likheten stämmer för alla k.

Jag förstår inte ska sätta in k inuti VL eller i Sigma tecknet? 

Ett induktionsbevis fungerar genom att man visar att om ett påstående gäller heltal $n$, så gäller det också heltalet $n+1$. Men om det gäller heltalet $n+1$, då måste det ju också gälla $n+2$,...

Strukturen är alltså följande:

1. Visa att påståendet du vill bevisa gäller för ett basfall
2. Anta att påståendet gäller för ett godtyckligt heltal $k=p$
3. Visa att om påståendet gäller för $k=p$, så måste det också gälla för $k=p+1$

Steg 2 kallas för induktionsantagandet eller induktionshypotesen.

I din uppgift är basfallet $k=1$. Vi verifierar:

$\displaystyle \text{VL}=\sum_{n=1}^{1}\left(12n-9\right)=12-9=3=\text{HL}$

Nu går vi till steg två och antar att påståendet gäller ett godtyckligt heltal $k=p$. Vårt antagande är alltså

$\displaystyle \sum_{n=1}^{p}\left(12n-9\right)=p\left(6p-3\right)$

Målet är nu att visa att om vårt induktionsantagande stämmer, så måste

$\displaystyle \sum_{n=1}^{p+1}\left(12n-9\right)=\left(p+1\right)\left(6(p+1)-3\right)$

Kan du ta det härifrån?

Tillägg: 28 okt 2026 15:28

Det är alltså inte så att man visar att det gäller för $k=p$ som #3 antyder, utan det är ett antagande. Det kan verka som en liten skillnad men konceptuellt är den ganska viktig.

Jag fastande lite

Det blir fel när du utvärderar summan i VL. Här kommer ett tips. Notera att

$\displaystyle \sum_{n=1}^{p+1}\left(12n-9\right)=\sum_{n=1}^{p}\left(12n-9\right)+\sum_{n=p+1}^{p+1}\left(12n-9\right)$

Kan du använda induktionshypotesen här på något sätt?

Bör jag stoppa p respektive p+1 ?

I den andra summan kan du stoppa in $p+1$ eftersom summan enbart löper över ett index ($n=p+1$). Känner du igen den första summan från något steg i beviset?

nej

Tillägg: 28 okt 2026 16:39

Är det från vårt första steg dvs Induktionsantagnadet för när $k=1 ?$

Vad säger induktionsantagandet?

Att likheten gärr för $k=1$

Nej, det är inte det som induktionsantagandet säger. Det är basfallet! Kolla igenom #5 en gång till.

aha då gäller det för k=p

Ja precis, induktionsantagandet säger alltså något om

$\displaystyle \sum_{n=1}^{p}\left(12n-9\right)$

Kan du använda det?

Är det $12p-9 ?$

Nej!

Ta en titt på #5 igen. Vad säger induktionshypotesen om värdet på den summan?

Varför induktion? Det är en enkel aritmetisk summa.

Dessutom kan man bryta ut 3; 3k(2k-1), som är ett "snyggare" HL.