Bevisa att mängden är en sigma-algebra

För steg 2. Antag E uppr. Tomma mgden tillhör==>X tillhör. Låt därför X vara universet. Då är X-E = E^c  Om E är uppräknelig så är (X-E)^c =(E^c)^c  =E som tillhör sigmaalg.  Fallet E^c uppr är triv.

Kriterium 2 är inte så svårt utan kräver bara lite mängteoretisk och logisk akrobatik. Här kommer ett försök, som kan ses som en mer utförlig version av det Tomten skriver:

Låt E vara ett element i S. Det betyder att något av följande fall gäller:

(a) E är uppräknelig.

(b) X\E är uppräknelig.

Vi vill visa att X\E är ett element i S. Enligt definitionen ska vi undersöka om X\E eller X\(X\E)=E är uppräkneliga. Den förstnämnda är uppräknelig i fall (b), och den sistnämnda är uppräknelig i fall (a). Alltså ligger X\E i S oavsett om vi är i fall (a) eller (b).

Kriterium 3 kräver att du ska undersöka om unionen eller komplementet av unionen är uppräkneliga.

Följande mängdteoretiska frågor kan vara en hjälp på traven:

• Är unionen av uppräkneligt många uppräkneliga mängder alltid uppräknelig?
• Hur kan $X\setminus\bigcup_{k=1}E_k$ uttryckas i termer av $X\setminus E_k$? (Rita ett vendiagram för fallet med en union av två mängder för att få inspiration.)

Snyggt angående kriterium (2)! Det känns helt trivialt nu när jag ser det.

Angående kriterium (3) så är väl svaret ja, unionen av uppräkneligt många uppräkneliga mängder är alltid uppräknelig. Om vi säger att $E_1 := \{e_{1,1}, e_{1,2},...\}, E_2 := \{e_{2,1}, e_{2,2},...\}$ och så vidare, så har vi:

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k=\{ e_{n,k}:n\in\mathbb{N},k\in\mathbb{N} \}$

Vi kan skapa en unik mappning $e_{n,k} \mapsto (n,k)$, och varje $(n,k)$ kan vi sedan mappa till ett naturligt tal. Således borde varje $e_{n,k}$ gå att mappa mot ett naturligt tal, så det existerar någon bijektion $g: \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\to \mathbb{N}$.

Vi vet samtidigt att om $E_1, E_2, E_3,... \subseteq X$, så har vi:

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\subseteq X$

Så vi har (1) $\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ är uppräknelig, och (2) $\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\subseteq X$. Innebär inte detta per definiton av $S$ att $\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k \in S$?

Bra! Därmed har du visat om alla mängderna $E_1, E_2, E_3, \ldots$ är uppräkneliga, så är unionen $\bigcup_{k=1}^\infty E_k$ uppräknelig och alltså ett element i $S$.

Men vad händer om någon mängd $E_k$ inte är uppräknelig?

Då vet vi enligt antagande att $X \setminus E_i$ (låt säga att $E_i$ är den icke-uppräkneliga mängden) är uppräknelig. Om:

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k \in S$

måste antingen $\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ vara uppräknelig, eller så måste $X \setminus \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ vara det. I vårt fall måste vi visa att det sistnämnda är uppräkneligt. Om något element $E_i$ ur vår följd inte är uppräknelig, måste dess komplement $X \setminus E_i$ vara det. 

Men längre kommer jag tyvärr inte.

En union av mängder är inte beroende av i vilken ordning unionen tas. Låt B vara delmängden av index sådana att i tillhör B ==> X-E_i uppräknelig. Då är hela unionen = unionen av de E_i  för vilka i tillhör B och unionen av de i som tillhör  B^c.  M a o får unioner omordnas till skillnad från  t ex betingat konvergenta serier. 

naytte skrev:

Om något element $E_i$ ur vår följd inte är uppräknelig, måste dess komplement $X \setminus E_i$ vara det. 

Bra! Och där är du nästan klar!

Det gäller ju att $E_i\subseteq  \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ så det måste gälla att $X \setminus \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\subseteq X\setminus E_i$. Eftersom en delmängd av en uppräknelig mängd alltid är uppräknelig följer det att unionen tillhör $S$.

Snyggt!

Lurigt exempel från Axler, men nu är jag med på logiken!

Tack för hjälpen, @oggih och @Tomten!

Följdfråga/utmaning: Låt $X=\mathbb{R}$ och låt $S$ vara σ-algebran vi har diskuterat i tråden. Kan du hitta en funktion $\mathbb{P}\colon S\to [0,1]$ som gör $(\mathbb{R},S,\mathbb{P})$ till ett sannolikhetsrum?