Bevisa att n³−n är delbart med 3 för alla positiva heltal ≥ 0.

Då är du nästan klar. Ser du att det är 3 tal på rad du har gångrat ihop? Hur många tal är delbara på 3 om du tittar tex mellan 0 och 20?

Micimacko skrev:

Då är du nästan klar. Ser du att det är 3 tal på rad du har gångrat ihop? Hur många tal är delbara på 3 om du tittar tex mellan 0 och 20?

Det är de talen 3,6,9,12,15,18

Kan du välja 3 tal på rad utan att få med något av dem?

Gillar inte att tänka så jag kör induktionsbevis istället (;

Antag

$$\begin{gathered} n^3-n\equiv 0 mod \left(3\right) \\ Med lite algebra får vi att \\ {(n+1)}^3-(n+1) = \\ {n}^3+3n^2+3n-n = \\ {n}^3-n+3(n^2+3) \\ Enligt antagandet kan n^3-n skrivas som 3k där k är ett heltal \\ Vi får nu uttrycket 3(k+n^2+3) \end{gathered}$$

ItzErre skrev:

Gillar inte att tänka så jag kör induktionsbevis istället (;

Antag

$$\begin{gathered} n^3-n\equiv 0 mod \left(3\right) \\ Med lite algebra får vi att \\ {(n+1)}^3-(n+1) = \\ {n}^3+3n^2+3n-n = \\ {n}^3-n+3(n^2+3) \\ Enligt antagandet kan n^3-n skrivas som 3k där k är ett heltal \\ Vi får nu uttrycket 3(k+n^2+3) \end{gathered}$$

Litet skrivfel. Det borde vara:

$n^3+3n^2+3n-n=n^3-n+3(n^2+n)$

och vi får uttrycket $3(k+n^2+n)$

ItzErre skrev:

Gillar inte att tänka så jag kör induktionsbevis istället (;

Antag

$$\begin{gathered} n^3-n\equiv 0 mod \left(3\right) \\ Med lite algebra får vi att \\ {(n+1)}^3-(n+1) = \\ {n}^3+3n^2+3n-n = \\ {n}^3-n+3(n^2+3) \\ Enligt antagandet kan n^3-n skrivas som 3k där k är ett heltal \\ Vi får nu uttrycket 3(k+n^2+3) \end{gathered}$$

Så långt har vi inte kommit ännu. Alltså vi har inte jobbat med det ännu 

Micimacko skrev:

Kan du välja 3 tal på rad utan att få med något av dem?

Förstår inte riktigt vad du menar

Okej vi kan lösa det rent logiskt också: Vi vet att 

$n^3-n = n(n^2-1) =n(n+1)(n-1) = (n-1)\left(n\right)(n+1)$

Dvs vi multipliceras tre på varandra följande heltal Tex $1\times 2\times 3 eller 19\times 20\times 21$

Vart tredje heltal är alltid delbart med tre och därför MÅSTE ett av talen vara delbart med tre. Därför kommer hela uttrycket alltid vara delbart med tre